§8．4多元复合函数的求导法则.ppt

* §8．4 多元复合函数的求导法则 多元复合函数的求导法则 全微分形式不变性 练习 连锁规则、 连锁规则的进一步推广 注意 多元复合函数的偏导数如何求？ 定理 如果函数u?j(t)及v?y(t)都在点t 可导， 函数z?f(x，y) 在对应点具有连续偏导数， 则复合函数z?f[j(t), y(t)]在点可导， 且其导数可用下列公式计算： 设z?f (u，v，w)，u?j(t)，v?y(t)，w?w(t)，则 z?f[j(t)，y(t)，w(t)]对t 的导数为： 连锁规则的推广： ． ． 连锁规则： （ 称为全导数） 设z?f(u，v)，而u?j(x，y)，v?y(x，y)，则复合函数 z?f [j(x，y)，y(x，y)]的偏导数为： 连锁规则的进一步推广： ， ． 例1 设z?e usin v ，u?x y，v?x?y ，求 和 ． 解 ?eu sin v·y ? eu cos v ·1 ?exy [y sin (x?y) ? cos (x?y)]， ?e usin v·x?e ucos v·1 ?ex y[x sin(x?y)?cos(x?y)]． 讨论： 1．设z?f(u，v，w )，u?j(x，y)，v?y(x，y)，w?w(x，y)，则 ， ． 2．设z?f (u，x，y)，且u?j(x，y)，则 ， ． 答： 答： 例2 设u?f (x，y，z)? ，而z?x2 sin y．求 和 ． 解 ?2x ?2z ?2x(1?2x2 sin 2y) ． ·2x sin y ?2y ?2z · x2 cos y ?2(y?x 4sin y cos y) ． 例3 设z?u v?sin t ，而u?e t，v?cos t．求全导数 ． ? e t(cos t ? sin t) ? cos t ． 解 ?v e t ?u sin t ? cos t ?e tcos t ?e tsin t ? cos t 例4 设w?f (x?y?z，x y z)，f 具有二阶连续偏导数， 求 及 ． 解 令u?x?y?z，v?xyz ，则w?f (u，v)． ?yz ， 或 ?f1??yz f2?． ?y ?yz ?y ? yz ? yz ?x y2 z ?xy ?y ? yz ?x y2 z ， ?y(x?z) ? y 或 ?f11????y(x?z) f12??? yf2?? xy2z f22??． 设z?f(u，v)具有连续偏导数，则有全微分 全微分形式不变性： dz? du? dv． 如果z?f(u，v)具有连续偏导数，而u?j(x，y)，v?y(x，y)也 具有连续偏导数，则 dz? dx ? dy ?( ? )dx ?( ? )dy ? ( dx? dy) ? ( dx? dy) ? du? dv． *