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浅谈初中数学线段之和最值问题 近年来，在全国各地出现的中考试题的平面几何最值问题中，呈现出变化多、涉及面广、形式灵活的景象，对学生来讲是个难点；如果深入思考，可以发现：这类试题的命制都是立足于教材，解决途径都是运用转化的思想“化折为直”。本文中，笔者根据近几年的中考试题，结合浙教版教材和自己的教学体会，谈谈初中数学中求线段之和最值的求解策略。 1.直接应用定（公）理求最值 平面几何解决最短线路问题时常用的公理(定理)：①两点之间线段最短.②三角形的两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边（②是由①得出）；③直线外一点到直线的所有线段中垂线段最短. 1.1应用两点之间线段最短 教材链接：七上7.3线段的长短作业题： 如图，A、B、C、D表示4个村庄.村民们准备合打一口水井，（1）略（2）你能给出一中使水井到各村庄的距离之和最小的方案吗？若能，请标出水井的位置，并说明理由. 解题分析： 教材作业题中，因点D与点B、点A与点C是定点，当水井打在AC与BD的交点时，水井到各村庄的距离之和最小，直接利用“两点之间线段最短”的原理。 中考链接：（2009山东潍坊）已知边长为a的正三角形ABC(一象限),两顶点A,B分别在平面直角坐标系的x轴,y轴的正半轴上滑动,点C在第一象限,连接OC,OC的长的最大值.1.2应用垂线段最短 教材链接：七上7.7相交线（2）作业题 如图,直线l表示一段河道,点A表示集镇,图上距离与实际距离之比为1︰2000 000.现要从河l向集镇A引水，问沿怎样的路线开挖水渠，才能使水渠的长度最短？…… 解题分析：教材作业题解决思路是过点A向垂直于水渠的方向开挖水渠，水渠长最短. 直接利用“直线外一点到直线的所有线中垂线段最短”的原理. 试题链接：2010台湾 如，△ABC中，有一P在上移.若=AC=5,BC=6，則(BP(CP的最小值何？ (A) 8 (B) 8.8 (C) 9.8 (D) 10(PC=AC为定值5，从而三线段和转化为求BP最小值，因为B为定点，P为AC上一动点，所以BP最小值就是定点B到AC的垂线段. 求解策略：教材的模型是已知一定点和一定直线求最小值.解答此类试题只要透过问题找到本质，剔除一些不变的线段（和）转化为一定点到一定直线的距离，再利用“直线外一点到直线的所有线中垂线段最短” 即可得出最小值. 在平面几何求最值这类问题中，应用轴对称变换、平移变换和旋转变换这三种图形变换及性质，可以将那些分散、远离的条件转移到适当的位置上，得以相对集中后，再应用上述定（公）理，便可迎刃而解. 2.结合图形变换求最值 2. 1应用轴对称变换把直线同侧的线段和转化为异侧线段之和 2.1.1一定直线+两定点+一动点 教材链接：浙教版科学七下1.5光的反射和折射 基本模型1：（将军饮马问题）白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。诗中隐含着一个有趣的数学问题：诗中将军在观望烽火之后从山脚上的A点出发，奔向交河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营，试问怎样走，才能使总的路程最短？ 如图，在定直线l同侧有两个定点A、B,在定直线l上有一动点P，请找到使PA+PB 最短的点P位置. 思路分析： 如图2作A关于直线l的对称点,连接交l于p，则p点即为所求使AP+BP为最短的距离（此题过B作关于l的对称点也可，方法都是一样的. 中考链接： 2010湖北鄂州市 如图所示，四边形为正方形，边长为6，点分别在轴，轴的正半轴上，点在上，且点的坐标为，是上的一动点，试求和的最小值是 A． B. C. D. 解题分析：由已知得点P为定直线OB上的动点，点D和点A为两个定点，符合模型；用正方形的轴对称性可知点A关于OB的对称点就是点C,因此和的最小值就是的最小值，而点A和点C都是定点，根据“两点之间线段最短”可得DC即为所求. 求解策略：此类试题往往把背景变换成角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等，但都有一个 “轴对称性”的图形共同点，解题时只要从变换的背景中提取“一定直线+两定点+一动点”的数学模型，再通过找定直线的对称点把同侧线段和转化为异侧线段和，利用“两点间线段最短”，实现“折”转“直”即可解决.若设问是求三角形周长或四边形周长最值，则必含有定长线段，依然可以转化为两线段和的最值. 2.1.2两定直线+一定点+一动点 基本模型2：如图1，已知两定直线a和l，其中在定直线l上有一个定点A,在定直线a上有一动点P，请找到使PA和点P到直线l距离之和的最小值的点P位置. 思路分析：如图2作A关于直线a的对称点,过作H垂直l于点H，则p点即为所求使AP和P到直线l距离和为最短的点. 中考链接：2009绍兴 定义一种变换：平移抛物线得到抛物线，使经过的顶点．设的对称轴分别交于点，点是点关于