两道课本例、习题的联系与探究.docVIP

两道课本例、习题的联系与探究 浙江省嵊州市教研室 裘洪波 人教版全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（上）P12有一个例题如下：已知a,b,m都是正数，并且a＜b，求证：（以下简称例题）。 该书习题6.3第9题：已知△ABC三边长是a,b,c，且m为正数，求证：（以下简称习题） 下面就两题的联系、证明、引申作一介绍。 一、联系 “例题”的结论可变形为。 “习题”的条件可削弱为a,b,c,m都是正数，并且a+b＞c，则不难发现，例题是习题的特殊情况，习题是例题的引申、拓广。 在众多的数学题中，不乏类如，变式，推广或本质完全一样，只是叙述方式不同而已的一些题，引导学生抓住它们的联系及本质，则对跳出题海，提高效率，培养能力是大有裨益的。 二、证明 “例题”的证明，教材中用的比较法。当然，也可用分析法、综合法、函数法等证明。 “习题”用分析法证明如下： 要证： 只须证： 即： 只须证 ∵由题设，，且 ∴上式成立 ∴ 显然，也可用比较法、综合法证明。 考虑到“习题”是“例题”的拓广，是否可运用“例题”的结果来证明，深入分析后发现用放缩法证明显得简洁。证明如下： 两式同向相加并运用“例题”的结果，可得 两题都能一题多解，这些证法都有利于学生打实双基。一旦抓住两题的联系，用“放缩法”证明“习题”，使人耳目一新。 三、引申 引申1：若，则 从“习题”的分析法证明过程中，发现是正确的。 如果把两题分别叫做这种类型的一元、二元不等式，则是否可推广到更一般的n元（）呢？得如下命题。 引申2：若都是正数，并且， 则. 证明1（数学归纳法）： n=1,2时，由“例题”、“习题”的结论知成立。 假设n=k（k≥2）时，不等式成立，即 那么，n=k+1时，根据引申1及归纳假设，得 ∴n=k+1时，不等式也成立。 ∴“引申2”成立。 证明2（放缩法）：n=1时，由“例题”知成立，n≥2时， 以上两种证法比较典型，有关n的不等式，往往可用数学归纳法证明；而用放缩法，显得简洁明快。 上述“联系”、“探究”的过程，既反映了从低层次到高层次、单向思维到多元的类比、联想、拓广等发散性思维过程，体现数学活动过程中的开放性、探究性和创新性；同时也是新课标倡导的“提倡积极主动，勇于探索的学习方式；强调本质，注意适度形式化”的理念在数学教学中的体现。 提高教材中例、习题的教学价值，适当归纳，深入探究。既能让学生进一步打实双基，形成能力；又能帮助学生掌握数学思想方法，进行思维训练。同时，教材例、习题的改编题，又是高考命题的主要来源。所以，数学教师应充分重视挖掘课本例、习题的潜在作用，提高教学效率。 参考文献： 1、 2、吴定晔等，对数学高考评价研究性学习能力的几点思考，数学通报，2006.4 1