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§5 双曲面 一 单叶双曲面： 例：面上的双曲线绕z轴旋转，所得旋转面为 ——旋转单叶双曲面 1、定义：在直角系下，由方程 （a,b,c0） （1） 所表示的图形称为单叶双曲面；而方程（1）称为单叶双曲面的标准方程。 注：在直角系下，方程 或所表示的图形也是单叶双曲面 2、性质与形状： （i）对称性：单叶双曲面（1）关于三坐标轴，三坐标面及原点对称。原点称为（1）的中心。 （ii）有界性：由方程（1）可知，单叶双曲面（1）是无界曲面 （iii）与坐标轴的交点与坐标面的交线： 单叶双曲面（1）与x,y轴分别交于（±a，0，0），（0，±b，0）而与z轴不交，上述 四点称为它的顶点。 （1）与三坐标面交于 ， ， ，即 （2） （3） （4） （2）（3）均为双曲线， （4）为椭圆，它们的顶点均是单叶双曲面（1）的两对顶点。 （iv）与平行于坐标面平面的交线： 为考察（1）的形状，我们先用平行于面的平面去截它，其截线为， 即 （5） 对k ，（5）均为椭圆，其顶点为（0，±b，k）∈（2）， （±a，0，k）∈（3） ，其半轴为b和a ，当∣k∣逐 渐增大时，椭圆（5）逐渐变大。可见，单叶双曲面（1）是由一系列“平行”椭圆 构成的，这些椭圆的顶点分别在二相互“垂直”的双曲线上变化。 再用一组平行于面的平面去截（1），其截线为 ，即 （6）当∣k∣a时，（6）为一双曲线，其实轴∥y轴， （如图5.3） 虚轴∥z轴，其顶点（k，±b，0）∈（4），当∣k∣=a时，（6）为二相交线，其交点为（k，0，0）当∣k∣a时，（6）仍为双曲线，但其实轴∥z轴，虚轴∥y轴，其顶点（k，0，±a）∈（3）最后，若用一组平行于面的平面去截（1），其截线情况与上述相仿（如图5.1）。 二 双叶双曲面： 例：面上的双曲线绕z轴旋转面为 ——旋转双叶双曲面 1 定义：在直角系下，由方程 （a,b,c0） （1） 所表示的图形称为双叶双曲面；而（1）称为双叶双曲面的标准方程。 注：在直角系下，方程 或所表示的图形也是双叶双曲面。 2 性质与形状： （i）对称性：双叶双曲面（1）关于三坐标轴，三坐标面及原点对称，其中原点称为其中 心。 （ii）有界性：由（1）可见，双叶双曲面为无界曲面。 （iii）与坐标轴的交点及与坐标面的交线： 双叶双曲面（1）与x,y轴不交，而与z轴交于（0，0，±C）——顶点 又（1）与三坐标面交于 ， ， ，即 （2） （3） （4） （2）（3）均为双曲线，其实轴为z轴，虚轴分别为y轴和x轴，其顶点为（0，0， ±C） （4）表面（1）与面不交。 （iv）与平行于坐标面平面的交线： 为考察双叶双曲面（1）的形状，先用平行于面的平面去截（1），其截线为 ，即 （5） 当∣k∣=C时，（1）与z=k不交， 当∣k∣=C时，（1）与z=k交于（0，0，±C） 当∣k∣C时，（5）为椭圆，其顶点为（0，±b，k）∈（2） （±a，0，k）∈（3），其半轴为b，a 可见，双叶双曲面（1）是由z=±C外的一系列“平行”椭圆构成。这些椭圆的顶点在双曲线（2）和（3）上变化。 （图5.4） 若用平行于面的平面去截（1）。其截线为 ，即 （6） 对k，（6）均为双曲线，其实轴∥z轴，虚轴∥y轴，其顶点 （k，0，±c）∈（3） 最后，若用平行于面的平面去截（1），其截线情况与上述相仿（如图5.2）。 y z o x