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利用三角函数对称性解题 摘要：我们在研究三角函数图像和性质时，研究了三角函数图像关于特殊点、特殊直线的对称问题，那么，哪些点是三角函数的对称中心？哪些直线是三角函数的对称轴？它们各自有什么特点？如何用三角函数的对称性解决有关问题 ？ 关键词：三角函数图像的对称性、对称轴方程、对称中心、三角函数解析式、参数值 正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx的图像都是轴对称图形，它们有无数条对称轴。对称轴方程分别为x＝和x＝，它们都经过图像的最高点或最低点，即经过函数的最值点。同时，正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx的图像又都是中心对称图形，它们有无数个对称中心。对称中心的坐标分别是和，它们都是函数图像与x轴的交点，即函数的零点。正切函数y=tanx的图像不是轴对称图形，是中心对称图形，它有无数个对称中心，其坐标是，它们是函数图像与x轴的交点或函数值不存在的点。 求y=或y= 的对称轴方程，只需令（或），从而求得函数y=的图像具有无数条对称轴，其方程为，函数y=的图像具有无数条对称轴，其方程为；求对称中心坐标只需令（或），从而求得其横坐标，纵坐标是零。求y=的对称中心坐标，只需令求得其横坐标，纵坐标是0. 已知函数解析式，求函数的对称轴方程或对称中心坐标，或利用对称性解决其他问题。 例1　函数 的对称轴方程是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解：令，得． 故选（Ａ）． 说明：对于函数的对称性，可令，转化为函数的对称性求解． 例２　由函数，与函数的图象围成一个封闭图形，求这个封闭图形的面积． 解：如图，根据对称性，所围成封闭图形的面积等价 于矩形的面积，所以封闭图形的面积． 说明：此题所求面积的图形不是常见规则图形，根据图象对称性转化为常见图形———矩形，既熟悉又易求，体现了数形结合，等价转化等数学思想． 在下列区间中，函数的单调增区间是（　） 　　（Ａ）　　（Ｂ）　　（Ｃ）　　（Ｄ） 解:　　函数的对称轴是 对照选择支取得可知函数的一个递增或递减区间分别是或，故可知答案是（Ｂ）选项。 像这类题型的常规解法是运用y=的单调增区间的一般结论，由一般到特殊求解。本例若直接运用图像求解，也显得十分直观而简明。一般来说，运用正余弦函数的对称轴方程求其单调区间，可先用对称轴方程求其一个单调区间（增或减），然后在两端分别加上周期的整数倍即得。 二、函数的对称性，求函数解析式中的参数的取值． 例４　若函数y=sin(2x )的图像关于y轴对称，求的值。 解法1: 解：令2x ＝　， 又因为函数图像关于y轴对称，所以函数的一条对称轴为x＝0 所以有：20+＝　即有＝　 解法2: 解：因为函数图像关于y轴对称，所以函数的一条对称轴为x＝0 所以当x＝0时，函数y＝sin(2x )取得最大值或最小值为，故有：sin＝，所以＝　 解法3: 因为函数y=sin(2x )图像关于y轴对称,对于函数y＝的图像关于y轴对称，所以由诱导公式可知要使y=sin(2x )变为y＝只要取的奇数倍，所以＝　 解法4: 本题还可以通过图像变换可求（过程要求学生独立解决） 例５ 函数的图象关于原点中心对称，则（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解：∵函数图象关于原点中心对称，且， ∴函数图象过原点，即． ，即． 故选（Ｂ）． 例6已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值． 解：由题意知是偶函数， 轴是其对称轴，即轴经过函数图象的波峰或波谷， ， 又，． 由的图象关于点对称， ，即， 又，． 当时，， 在上是减函数； 当时，， 在上是减函数； 当时，， 在 上不是单调函数． 综上所述，或． 说明：本题综合考察函数的单调性、奇偶性及图象的对称性．的图象关于点对称亦可转化为，再令得到，再得到． 如果函数的图像关于直线对称，试求的值。 解：显然，如若不然，就是函数的一条对称轴，这显然是不可能的，当时 其中， ，即 函数的图像的对称轴的方程的通式为 所以，所以，所以 即为所求。 参考文献： (1)刘培杰，《中学数学解题方法全书》，哈尔滨工业大学出版社，p354 (2)钟益民，《用三角函数图像解题》，中学数学1996年07期 (3)李泽桓，《一组三角函数图像对称性命题应用与探究》，数学学习与研究2008年03期