自考-线性代数第六章实二次型分析报告.ppt

第六章 实二次型 定义：含有 n 个变量 x1, x2, …, xn 的二次齐次函数 称为二次型． 写出二次型对应的对称矩阵A。 写出由对称矩阵确定的二次型。 【练习109】 三元二次型 的矩阵为（ ）。 A． B． C． D． 【练习110】 实对称矩阵 所对应的二次型 ______________________． 【练习111】 二次型 的矩阵是______________________。 【练习112】 二次型 的秩是______________________。 【练习113】 实对称矩阵 所对应的二次型是 ________________________________． 【练习114】 二次型 的秩是( ). A．1 B．2 C．3 D．4 【练习115】 二次型 = 的正惯性指数为 . 在以下4个矩阵中，哪些是合同矩阵？哪些是不合同矩阵？ 【练习116】 二次型 = 经正交变换可化为标准形 . 【练习117】 求正交变换 ，将二次型 化为标准形，并指出 是否为正定二次型 1.正定矩阵 具有对称矩阵A的二次型 如果对于任何 ，都有 成立，则称 为正定二次 型，矩阵A称为正定矩阵。 2.半正定矩阵 具有对称矩阵A的二次型 如果对于任何 ，都有 成立，则称 为半正定二次 型，矩阵A称为半正定矩阵。 3.负定矩阵 具有对称矩阵A的二次型 如果对于任何 ，都有 成立，则称 为负定二次 型，矩阵A称为负定矩阵。 4.半负定矩阵 具有对称矩阵A的二次型 如果对于任何 ，都有 成立，则称 为半负定二次 型，矩阵A称为半负定矩阵。 5.不定二次型 其他的实二次型称为不定二次型，其他的实对称阵称为不定矩阵。 以n=3为例。 问是不是正定二次型？ 定理： n阶实对称矩阵A=（aij）是正定矩阵?A的n个顺序主子式Dk0,k=1,2,…，n。 判定 是不是正定矩阵。 问 为何值时，以下三元二次为正定二次型： 问 为何值时，以下三元二次为正定二次型： 定理：矩阵 为正定矩阵的充分必要条件是 . 称为 的顺序 阶主式，即 … 【练习118】 设矩阵A= 为正定矩阵，则 的取值范围是_____________ ． 【练习119】 设矩阵A= 为正定矩阵，则 的取值范围是_____________ ． 【练习120】 已知二次型 正定，则数k的取值范围为___________． 【练习121】 设 ，则二次型 是（　 　　） A．正定 B．负定 C．半正定 D．不定已知二次型 【练习122】 设矩阵A= ，则二次型 的规 范形是_____