解三角形综合复习包含练习题(答案).docVIP

重庆学乐教育vip一对二教学方案 课时数：2小时 学生： 主讲人：沈老师 解三角形 教学目的： 教学重点/难点： 教学内容： 正弦定理和余弦定理 1．正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： (1)ab∶c＝sin Asin B∶sin C； (2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； (3)sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以变形为：cos A＝，cos B＝，cos C＝. 3．SABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r. 【例1】在ABC中，a＝，b＝，B＝45°.求角A，C和边c. 解　由正弦定理得＝，＝， sin A＝. a＞b，A＝60°或A＝120°. 当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°， c＝＝； 当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°， c＝＝. 考向二　利用余弦定理解三角形 【例2】在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且＝－. (1)求角B的大小； (2)若b＝，a＋c＝4，求ABC的面积． 解　(1)由余弦定理知：cos B＝， cos C＝. 将上式代入＝－得： ·＝－， 整理得：a2＋c2－b2＝－ac. cos B＝＝＝－. B为三角形的内角，B＝π. (2)将b＝，a＋c＝4， B＝π代入b2＝a2＋c2－2accos B， 得b2＝(a＋c)2－2ac－2accos B， 13＝16－2ac，ac＝3. S△ABC＝acsin B＝. 【训练2】 (2011·桂林模拟)已知A，B，C为ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2 ＋cos A＝0. (1)求角A的值； (2)若a＝2，b＋c＝4，求ABC的面积． 解　(1)由2cos2 ＋cos A＝0， 得1＋cos A＋cos A＝0， 即cos A＝－， 0＜A＜π，A＝. (2)由余弦定理得， a2＝b2＋c2－2bccos A，A＝， 则a2＝(b＋c)2－bc， 又a＝2，b＋c＝4， 有12＝42－bc，则bc＝4， 故S△ABC＝bcsin A＝. 【训练3】 在ABC中，若＝＝；则ABC是(　　)． A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 解析　由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为ABC外接圆半径)． ＝＝. 即tan A＝tan B＝tan C，A＝B＝C. 考向三　正、余弦定理的综合应用 【例3】在ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝. (1)若ABC的面积等于，求a，b； (2)若sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求ABC的面积． 解　(1)由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4. 又因为ABC的面积等于，所以absin C＝，得ab＝4，联立方程组解得 (2)由题意，得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sin Acos A， 即sin Bcos A＝2sin Acos A. 当cos A＝0，即A＝时，B＝， a＝，b＝； 当cos A≠0时，得sin B＝2sin A， 由正弦定理，得b＝2a. 联立方程组 解得 所以ABC的面积S＝a bsin C＝. 【训练3】 (2011·北京西城一模)设ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cos B＝，b＝2. (1)当A＝30°时，求a的值； (2)当ABC的面积为3时，求a＋c的值． 解　(1)因为cos B＝，所以sin B＝. 由正弦定理＝，可得＝， 所以a＝. (2)因为ABC的面积S＝ac·sin B，sin B＝， 所以ac＝3，ac＝10. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B， 得4＝a2＋c2－ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20. 所以(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2＝40. 所以a＋c＝2.　　，，，则等于 （ 2 ） A B C D 2. △ABC中，，，，则最短边的边长等于 （ 1 ） A B C D 3.