鲁棒控制第四.pptVIP

4.1.2 输出反馈H∞控制 消元法 其中： 和 分别是以空间 和 中的任意一组基向量作为列向量所构成的矩阵。 （4.1.21） （4.1.22） 4.1.2 输出反馈H∞控制 消元法 证明 下面只证明矩阵不等式 等价于矩阵不等式（4.1.21）。 根据矩阵 、 、 和 的定义，可以得到 另一方面，在矩阵P的定义中，代入矩阵 和 的表示式，得到 因此 4.1.2 输出反馈H∞控制 消元法 其中： 张成了 的核空间。注意到 的分块矩阵中的第二行完全等于零，利用分块矩阵的运算可以得到 等价于 利用 即可推出 等价于线性矩阵不等式（4.1.21）。引理得证。 4.1.2 输出反馈H∞控制 消元法 至此，已经证明了系统（4.1.1）存在形如（4.1.10）的输出反馈H∞控制器当且仅当存在一个 维的对称正定矩阵 ，满足矩阵不等式（4.1.21）和（4.1.22）。而事实上，后面的两个矩阵不等式分别只涉及 和 中的子矩阵X和Y，而且是X和Y的一个线性矩阵不等式系统。 如果线性矩阵不等式系统(4.1.21) ～(4.1.22)是可行的,那么如何从该线性矩阵不等式系统的可行解X和Y来确定满足(4.1.20)式的对称正定矩阵 呢？下面的结论提供了这个问题的一个解。 4.1.2 输出反馈H∞控制 消元法 引理4.1.3 设X和Y是 中给定的对称正定矩阵， 是一个正整数，则存在矩阵 和对称矩阵 ，满足 当且仅当 （4.1.23） 4.1.2 输出反馈H∞控制 消元法 这个引理表明了只要线性矩阵不等式系统（4.1.21）～（4.1.22）是可行的，且其解矩阵X和Y满足秩条件（4.1.23），则总可以从解矩阵X和Y构造出满足（4.1.20）式的矩阵 。一般情况下，秩条件并不是一个凸约束。由于 故如果所要设计的H∞控制器的阶数 ，则秩约束条件就自然满足。在这种情况下，从一组线性矩阵不等式的解矩阵就一定可以构造满足（4.1.20）式的对称正定矩阵 。 4.1.2 输出反馈H∞控制 消元法 总结 定理 4.1.2 系统（4.1.1）存在一个输出反馈H∞控制器，当且仅当存在对称正定矩阵X和Y,使得 （a） （b） （c） 4.1.2 输出反馈H∞控制 消元法 如果核空间 和 中有任意一个等于零空间，则在定理条件中可以删去相应的线性矩阵不等式。若系统（4.1.1）不存在控制输入和测量输出，则可以在系统模型中取 因此，相应的 。在这种情况下，定理条件中的三个不等式变为： （4.1.25） （4.1.26） （4.1.27） 4.1.2 输出反馈H∞控制 消元法 由矩阵的运算性质可以得到,如果 满足矩阵不等式(4.1.25),则 满足矩阵不等式(4.1.26)。因此,不等式系统(4.1.25) ～(4.1.27)等价于:存在对称正定矩阵X ,使得线性矩阵不等式(4.1.25)成立,或等价于存在对称正定矩阵Y ,使得线性矩阵不等式(4.1.26)成立。这样,我们再一次得到了系统H∞性能的分析结果。 从以上的分析也可以看到矩阵 和 分别反映了系统的控制输入不能影响的部分和系统测量输出不能反映的部分。从定理4.1.2的条件可以得到一个阶数为 的输出反馈H∞控制器。事实上,可以得到n维的输出反馈H∞控制器。 如果要求设计阶数 的输出反馈H∞控制器，则关于其存在的问题，我们有以下的推论： 4.1.2 输出反馈H∞控制 消元法 推论 4.1.1 系统（4.1.1）存在阶数 的输出反馈H∞控制器当且仅当存在对称正定矩阵X和Y，满足定理 4.1.2中的条件(a)、(b)、(c)以及一个附加条件 如果系统的状态都是可以测量得到的,即在系统模型(4.1.1)中, ，则相应的 ，定理4.1.2中的不等式(a)变成了 因此,只要不等式(b)有对称正定矩阵解Y,则不等式(a)对任意的正定矩阵X都是可行的。特别地,取 ,可得不等式(c)也是可行的。对这样的一对解矩阵X和Y ,由于 4.1.2 输出反馈H∞控制 消元法 故根据推论 4.1.1,可以用解矩阵X和Y构造一个静态的H∞状态反馈控制器。进一步,还可以得到: 推论 4.1.2 对系统(4.1.1),假定所有的系统状态都是可以测量得到的,即