第10章 结构动力学 讲义.pptVIP

求自振频率和振型的矩阵迭代法 矩阵迭代法思想：先假定初始振型并迭代调整直到获得一个实际振型的适当近似形式为止，然后从运动方程确定振动频率。 引入 由振型方程可得： 其中, [D]称为动力矩阵，动力矩阵具有明显的“筛选”作用：尽管最初假定的任意振动形式可能激起体系的全体振型，但是经过动力矩阵的多次迭代“过筛”之后，高阶振型的影响逐步被“过滤”掉，最后总会收敛于体系的基本振型。这就解决了用迭代法寻求体系第一振型的问题。 自振频率和振型的实用计算法 自振频率和振型的实用计算法 求自振频率和振型的矩阵迭代法 给振动体系任意假定一个非0初始向量 多次迭代 第一振型 基本频率 弹性体系作自由振动时的振型三个性质： 振动体系的位移曲线形状，可由振型有效地予以描述； n个振型都是独立的，彼此线性无关； 所有振型都是两两相互 “ -正交性” 和 “ -正交性”； 振型分解法，就是利用了振型的上述三点重要性质，把 n个自由度体系的强迫振动问题，分解为n个彼此独立的单自由度体系的强迫振动问题，从而使多自由度体系强迫振动问题的解决获得了极大的简化。 多自由度体系的强迫振动 多自由度体系的强迫振动 振动体系的任意时刻的未知位移向量可以展开为已知振型的线性组合形式： 组合系数 ai(t) 的地位和作用，等同于体系按第 i 振型振动时的位移幅值，类似于n维向量空间中的坐标，故可称之为体系的“主坐标”。 展开式可缩写为矩阵形式 {a(t)}则可称为“主坐标向量”： 多自由度无阻尼体系在n维几何向量空间中的强迫振动方程为： 振型正交性的利用 相互耦连的二阶非齐次线性常微分方程 解耦的彼此独立的二阶线性常微分方程 为第 i 振型的广义荷载 为第 i 振型的广义质量 为第 i 振型的广义刚度 类似有： 多自由度无阻尼体系的强迫振动 其中： 通常采用瑞雷阻尼，假设阻尼矩阵为 ，以达到解耦的目的。 多自由度有阻尼体系在几何空间中的强迫振动方程是： 为了实现完全解耦，假设阻尼矩阵也满足类似质量矩阵和刚度矩阵的正交性。 定义 为第 i 振型的广义阻尼常数 多自由度有阻尼体系在主坐标空间中解耦的运动方程为： 引入“主坐标空间中属于第i振型的广义阻尼比” ，则得： 多自由度有阻尼体系的强迫振动 根据达朗贝尔原理，由微元沿y 轴受力平衡条件可得： 由微元体的力矩平衡条件及材料力学 由以上方程组可得直梁的弯曲振动方程为： 直梁的横向弯曲振动方程 等截面直梁自由振动方程可写为： 用分离变量法求解，假设下列形式的试解 代入自由振动方程得： 方程两端必等于同一常量，设为 则有： 其中： T(t)和X(x)通解为： 等截面直梁的自由振动方程通解为： 单跨梁的自由振动 对方程 考虑不同阶次 i，j 考虑简单支承条件，可得 正交性 第 i 振型的广义质量 另外也可得到： 第 i 振型的广义刚度 第 i 阶频率： 直梁的振型正交性 等截面直梁无阻尼强迫振动方程 设振动方程的解为： 代入振动方程得： 考虑振型函数正交性可得 其中 称为第 i 振型的广义荷载 可见，经过上述振型分解，就把几何空间中一个比较复杂的四阶偏微分方程，转化为主坐标空间中无限多个二阶常微分方程，它们彼此之间是相互独立的，可以分开求解，从而大大地简化了问题。 单跨梁的强迫振动 本章的内容可以分为：单自由度体系、多自由度体系和无限自由度体系振动分析三大部分。就每一部分而言，又分为：运动方程建立、自由振动分析和强迫振动分析三个环节。 单自由度系统动力响应分析是结构动力学的基础。它给出了一个非常简单明了的振动图象，而且多自由度体系和无限自由度体系的求解又是以单自由度体系的分析结果为基础。 多自由度体系分析有两点需要特别注意，一是振型的概念；另一个就是振型分解法。解决多自由度体系振动问题的关键就是要解耦，简化问题。 本章小结 * * * * 第10章 结构动力学 东南大学-结构力学课程组制作 结构动力学是研究结构的固有动力特性及其在动荷载作用下内力和位移响应的一门学科。 从总体上看，结构动力学的研究课题和结构静力学基本上是一样的，只是引起结构响应的外荷载性质有所不同：前者为动荷载，后者是静荷载。 动荷载与静荷载的根本区别，主要取决于它们对结构产生的动态效果。动荷载对结构物产生的动态效果，通常要比静荷载严重得多。 结构动力学是结构动力设计的必备基础。 结构动力学的任务和目的 所谓自由度，是指确定振动体系全体质量在任一时刻的位置所必须的独立几何参数的个数，也就是