第五节泰勒级数及其应用09429.docVIP

第五节 泰勒级数及其应用 教学目的：掌握TaylorTh，了解函数的Taylor级数与Taylor 展式的关系；能灵活运用导出公式间接求出函数的泰勒展式； 了解函数泰勒展式的作用. 重难点：能灵活运用导出公式间接求出所给函数的泰勒展式以及麦克劳 林展式. 教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程： 一、泰勒级数 1.通过前面的学习我们知道，当级数在其收敛域内一定有和函数.现在我 们想知道函数是否一定可以展开为幂级数，需不需要附加条件？ 问题：已知函数有 . 问：(1) 对于一般的函数是否也有？ (2) 如果能展开,项的系数如何确定? (3) 展开式是否唯一? (4) 在什么条件下才能展开成幂级数? 2.由第四章中的导数应用知道，我们可以用多项式近似表示函数，进而 导出函数的泰勒中值定理.（作用：用多项式近似表示函数） 【定理】（Taylor中值Th）: 在内具有直到n+1 阶导数, 则在内，其中为 拉格朗日型余项.. 3.【定理】（TaylorTh）: 在内具有任意阶导数, 则 在内 . 其中为的拉格朗日型余项. 证明: 由于 . 所以 , . 4．函数在点有泰勒展式在有任意阶导数 且. 注意：1）函数在一点处可以展开为Taylor级数时，其展式是唯一的. 2）为 在点的Taylor级数，等 式在时成立，称为函数的 Taylor展式. 5．泰勒级数与麦克劳林级数 设在点具有任意阶导数，则称 (1) 为在点的泰勒级数, 记作 . (2) 称为的麦克劳林级数, 记作 . 注意问题: 在点具有任意阶导数，那么 级数在收敛区间内是否收敛于 ？ 例: 在点任意可导,且 , 于是, 显然, . 结论：当级数收敛于时，即时 有泰勒展式. 二、函数展开成幂级数 1．直接法(麦克劳林级数法) 步骤：(1) 求； (2) 求； (3) 写出的麦克劳林级数 并求出级数的收敛半径； (4) 讨论或 ， (5) 在收敛区间上有 , . 例1 将展开成的幂级数. 解：(1) , ， , ； (2) , 而 ； (3), (). (4) 所以 , . 近似计算: ； ； . 公式： 取等不同的值可以得到相应的公式. （）.可以由无穷递缩等比数列求和公式得到. 例2 将展开成的幂级数. 解：(1) , ； (2) 依次循环取 ； (3), 而； (4) ,. (5) 所以 , . 2．间接法 根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求函数的泰勒展开式. 例3 将展开成的幂级数. 解：已知, . 那么 ,. 例4 将展开成的幂级数. 解：已知, . 那么 , . 例5 将展开成的幂级数. 解：已知, . 那么 , . 又因为 时，级数 收敛, 于是 , . 例6 将展开成的幂级数. 解 当均收敛， 故 提问：利用已知展开式展开下列函数为的幂级数,并确定收敛区间: (1) 解 因为,所以有 , 并由得的收敛区间为. (2) 解 因为,所以有 , 并由得的收敛区间为. (3) 解 因为,所以有 . (4) 解 由,有 又由得其收敛区间为. (5) 解 并由 有 和 , 所以 , . 例7（1） (07.3.10)将函数展开为的幂级数,并指 出收敛区间. 解: 收敛区间为 . （2） 将展开成的幂级数. 解：由于 又已知, , , . 那么 , 收敛域 . 练习： 将展开成的幂级数. 解：由于 又已知, , , , 那么 , . 提问：利用已知展开式展开下列函数为的幂级数,并确定收敛区间: (1) 解 因为,又, 所以有 , 即 . (2) 解 因为,又 ， 所以有 ， 即 . （3） 解 类似可求 例8 （1）(87.6) 将函数展成的幂级数,并指出其收敛 区间. 解 . 95.6) 将函数展成的幂级数,并指出收敛 区间. 解 易知, 并由 , 和 , 可得 , . 三、幂级数在近似计算中的应用 1．近似计算思路：欲计算函数值, 可将展开成幂级数 , 可用近似值计算, 误差为. 2．近似值的精度 给出精度, 通过确定项数,继而求得需要近似 . (2) 给定项数,可求得近似值,通过可估计精度； 例9 计算的近似值,要求误差不超过. 解法一: 由于 , 取, 则有 且 , 若要求误差不超过, 应取. 即要计算 共10000项！ 显然此法不可取！ 解法二(快速收敛级数法): 已知 , .