第五节幂级数201046.docVIP

注意：对于级数，当收敛时，绝对收敛. 例 证绝对收敛：令，则 收敛收敛 故 原级数绝对收敛. §7.5 幂级数 教学目的：弄清幂级数的相关概念；掌握幂级数收敛半径、收敛区间、 收敛域定义与求法；掌握幂级数的性质，能灵活正确运用性质 求幂级数的和函数. 重难点：掌握幂级数收敛半径、收敛区间、收敛域概念与求法；掌握幂 级数的性质，能灵活正确运用性质求幂级数的和函数，以及常 数项级数的和. 教学方法：启发式讲授 教学过程： 一、函数项级数的概念 1．【定义】设 是定义在区间上的函数,则 称为定义在区间上的(函数项)无穷级数. 2．收敛域 (1) 收敛点—— 常数项级数 收敛； (2) 发散点——常数项级数 发散； (3) 收敛域—— 函数项级数的所有收敛点形成的集合； (4) 发散域—— 的发散点的全体构成的集合. 3．和函数—— , . 4．余项—— , , . 注: ①只有在收敛域上, 才有意义； ② , . 二、幂级数及其收敛半径和收敛域 1．【定义】形如的函数项级数称为的.（也称为一般幂级数），其中 为常数，称为幂级数的系数.时, 称为的, 其中 常数（）. 结论：对于级数，作代换可以将一般幂级数化 为标准幂级数，所以我们只研究标准幂级数敛散性的判别方法. 的收敛域：此级数的全体收敛点的集合.: (收敛域)，即幂级数总在点处收敛. 例如: , 均为幂级数. 显然: 的收敛域,其发散域. 且和函数 .此结论可当公式使用. 2.级数的收敛域 把级数的各项取绝对值正项级数，，则 ；于是由比值判别法知，即，绝对收敛.，即，发散.，即，敛散另行判定.，即，此时对任意，收敛.在一个以原点为中心，从到的区间内称为幂级数的收敛区间，为收敛半径.仅在点收敛，则规定，级数的收敛域为 由于 ，或 . 若对任意都收敛，则，级数的收敛域为时，要讨论级数在处的敛散性才能确定收敛域.此时收敛域可能是下列区间之一：的收敛域为，则 （1）若且, 则对, 收敛且绝对收敛. (2) 若, 则 对,有即级数发散. 证明: (1) 收敛， 由 收的常数） ,因, 从而 收敛,正项级数收敛 收敛即对,收敛且绝对收敛. (2) ,假若有满足收敛 矛盾. 所以,有发散，即. 注意:(1) 若, 则 (收敛域), ； (2) 若, 则 (发散域). 4.【定理7.13】若幂级数系数满足条件 或（为常数或），时, 则； (2) 当时, 则. （3）当时, 则. 常用公式: ，. 例如: 幂级数的收敛半径,时，级数发散，故. 例1 求幂级数的收敛半径与收敛域. 解: (1) . (2) 当时, 级数为收敛； 当时, 级数为发散. 故收敛区间（敛区）是，收敛域为（敛域）. 例2（1） 求幂级数的收敛半径与收敛域. 解: , 故 收敛区间和收敛域均是 . （2） 求幂级数的收敛半径. 解: . 练习：求幂级数的收敛半径与收敛域. 提示：，又时级数发散.收敛域.的收敛半径与收敛域. 提示： 当时级数收敛；当时级数发散.时，原级数是，收敛的交错级数.，收敛区间，收敛域. 注意：缺项级数可以直接用比值法求收敛半径. 例4 （1） 求幂级数的收敛半径与收敛域. 解：令,幂级数变形为, 时级数绝对收敛，时级数发散，，当时原级数为收敛，当时，发散，故 原级数收敛半径，收敛域为.的收敛域. 解： 由时级数收敛，由由时级数发散. 得 当时，收敛，当时，收敛， 所以 收敛域为 . 提问：（1）(02.3) 设幂级数与的收敛半径分别为与,则幂级数的收敛半径为（A） (A) 5 (B) (C) (D) 答 因为,所以, （2） (90.5) 求级数的收敛域. 解 令，级数,由知, 因此当即时级数收敛当时原级数为时,原级数为收敛. 所以收敛域为. （3） (92.3) 级数的收敛域为. 答 令 对于,由, 于是收敛半径,则,即内收敛. 当和时,原级数都为发散,所以收敛域为. 三、幂级数以及和函数的运算性质 1.设 的收敛半径分别为 1）加减法: ,. 其中: . 2）乘法: ,. 其中: , ,. 3）除法: ,. 其中: 待定, 而由系列表达式,确定. 此处, , 但. 2.幂级数的和函数在其收敛区间内是连续. 3.幂级数的和函数在其收敛区间内可积，且 有逐项积分公式 ,. (积分前后的收敛半径不变). 例: , .逐项积分时在处无 意义. 4.幂级数的和函数在其收敛区间上可微，且在收敛区间上 , . 说明：求导与积分前后两级数的收敛半径不变，但收敛域有可能改变. 公式 例5 求幂级数