2014届高考数学一轮复习_15_不等式选讲考点及自测_理_新人教A版2….doc

不等式选讲 考点梳理 1．绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a与|x|a的解法 不等式 a0 a＝0 a0 |x|a {x|－axa} ? |x|a {x|xa或x－a} {x|xR且x≠0} R (2)|ax＋b|≤c(c0)和|ax＋b|≥c(c0)型不等式的解法 |ax＋b|≤c－c≤ax＋b≤c； |ax＋b|≥cax＋b≥c或ax＋b≤－c. (3)|x－a|＋|x－b|≥c(c0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c0)型不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 2．绝对值的三角不等式 (1)定理1：若a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立． (2)定理2：设a，b，c是实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立． 推论1：||a|－|b||≤|a＋b|. 推论2：||a|－|b||≤|a－b|. 考点自测 1．不等式|x－8|－|x－4|＞2的解集为________． 解析　令：f(x)＝|x－8|－|x－4|＝ 当x≤4时，f(x)＝4＞2； 当4＜x≤8时，f(x)＝－2x＋12＞2，得x＜5， 4＜x＜5； 当x＞8时，f(x)＝－4＞2不成立． 故原不等式的解集为：{x|x＜5}． 答案　{x|x＜5} 2．(2012·湖南)不等式|2x＋1|－2|x－1|0的解集为________． 解析　可根据绝对值不等式的性质进行变换，化绝对值不等式为一元一次不等式求解．原不等式即|2x＋1|2|x－1|，两端平方后解得12x3，即x. 答案　 3．已知关于x的不等式|x－1|＋|x|≤k无解，则实数k的取值范围是________． 解析　|x－1|＋|x|≥|x－1－x|＝1，当k＜1时，不等式|x－1|＋|x|≤k无解，故k＜1. 答案　(－∞，1) 4．若不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为________． 解析　由|3x－b|＜4，得＜x＜， 即解得5＜b＜7. 答案　(5,7) 5．(2012·陕西)若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________． 解析　|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|， 要使|x－a|＋|x－1|≤3有解， 可使|a－1|≤3，－3≤a－1≤3，－2≤a≤4. 答案　[－2,4] 考向一　含绝对值不等式的解法 【例1】设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|. (1)解不等式f(x)＞2； (2)求函数y＝f(x)的最小值． 解　(1)f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝ 当x＜－时，由f(x)＝－x－5＞2得，x＜－7.x＜－7； 当－≤x＜4时，由f(x)＝3x－3＞2，得x＞， ＜x＜4； 当x≥4时，由f(x)＝x＋5＞2，得x＞－3，x≥4. 故原不等式的解集为. (2)画出f(x)的图象如图： f(x)min＝－. (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：求零点；划区间、去绝对值号；分别解去掉绝对值的不等式；取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值． (2)用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，即通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法． 【训练1】 (2012·新课标全国)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|. (1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集； (2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围． 解　(1)当a＝－3时，f(x)＝ 当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1； 当2x3时，f(x)≥3无解； 当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4. 所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1}{x|x≥4}． (2)f(x)≤|x－4||x－4|－|x－2|≥|x＋a|. 当x[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|4－x－(2－x)≥|x＋a|－2－a≤x≤2－a. 由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0. 故满足条件的a的取值范围是[－3,0]．考向二　绝对值不等式的证明 【例2】已知函数f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)，且|a|≤1，求证：|f(x)|≤. 证明　－1≤x≤1，|x|≤1. 又|a|≤1， |f(x)|＝|a(x2－1)＋x|≤|a(x2－1)|＋|x| ≤|x2－1|＋|x|＝1－|x|2＋|x| ＝－2＋≤. 证明绝对值不等式主要有三种方法： (1)利用绝对值的定义脱去绝