数列、函数上下极限的性质及其应用文献综述解析.docVIP

文献综述 数列、函数上下极限的性质及其应用 一、前言部分 极限的概念是数学分析中最基本的概念之一,也是数学中的一个重要的” 极限思想 揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系,是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。借助极限思想,人们可以从有限认识无限,从直线形认识曲线形从不变认识变,从量变认识质变,从近似认识精确. 极限思想是社会实践的产物.极限的思想可以追溯到古代,在我国春秋战国时期虽已有极限思想的萌芽.但从现在的史料来看,这种思想主要局限于哲学领域,还没有应用到数 学上,当然更谈不上应用极限方法来解决数学问题.直到公元3世纪，我国魏晋时期的数学 家刘徽在注释《九章算术》时创立了有名的“割圆术”．由于他所采用的圆的半径为1,这样 圆的面积在数值上即等于圆周率,所说刘徽成功地创立了科学的求圆周率的方法.刘徽采用的具体做法是:在半径为一尺的圆内,作圆的内接正六边形,然后逐渐倍增边数,依次算出内接正6边形、正12边形、… 、直至(192)边形的面积。他利用公式(为内接正n边形的边长，为内接2n边形的面积)来求正多边形的面积.他的极限思想是“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失”.第一个创造性地将极限思想应用到数学领域.这种无限接近的思想就是后来建立极限概念的基础. 刘徽的割圆术是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用:古希腊人的穷竭 法也蕴含了极限思想,但由于希腊人“对无限的恐惧”,他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明．到了16世纪,荷兰数学家斯泰文在考查三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法,他借助几何直观运用极限思想思考问题 ，放弃 了归谬法的证明.如此,他在无意中将极限发展成为一个实用概念．从这一时期开始，极限与微积分开始形成密不可分的关系，并且最终成为微积分的直接基础。尽管极限概念被明确提出，可是它仍然过于直观，与数学上追求严密的原则相抵触.到18世纪时，罗宾斯、达朗贝尔与罗伊里艾等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础，并且都对极限做出了定义.其中达朗贝尔的定义是:“一个量是另一个量的极限,假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量.”它接近于极限的正确定义.然而,这些人的定义都无法摆脱对几何直观的依赖.事情也只能如此,因为19世纪以前的算术和几何概念大部分都是建立在几何量的概念上的.然而他们仍然没有摆脱对几何直观的依赖. 直至19世纪，维尔斯特拉斯提出了极限的静态定义.在这一静态定义中，“无限”“接近”等字眼消失了，取而代之的是数字及其大小关系.它的“ε－N｝的最大聚点与最小聚点分别称为有界数列｛｝的上极限与下极限，记作：， . 定义 2 对于有界数列｛｝，它的所有子列的极限所组成的数集的最大值称为此数列的上极限，最小值称为此数列的下极限. 定义 3 对于有界数列｛｝，去掉它的最初k项以后，剩下来的仍旧是一个有界数列，记这个数列的上确界为,下确界为,亦即 , , ,于是得到数列｛｝和数列｛｝，显然数列｛｝是单调减少的，｛｝是单调增加的，所以这两个数列极限都存在，称｛｝的极限是｛｝的上极限，记作，称｛｝的极限是｛｝的下极限，记作.也就是: , 对于无界数列, 文献[1-2]获得如下结论： （1）数列｛｝无上界而有下界. 按定义 1,扩充聚点也可为.显然，数列｛｝的最大聚点为,而最小聚点可能为有限数，可能为. 按定义 2，扩充可为极限点 显然，数列｛｝所有收敛子列的极限组成的数集的上确界为,而其下确界可能为有限数，可能为. 按定义 3，显然,而单调增加，但可能没有上界，故可能为有限数,可能为. (2) 数列｛｝有上界而无下界，同上. (3) 数列｛｝既无上界又无下界 此时按定义 1，定义 2，定义 3，都有,. 据上，对于无界数列情形，以上三种定义也等价. 由于上 下极限的概念适用于所有数列，而极限存在的充要条件是上、下极限相等 ，因此，在遇到证明极限存在性问题时，通过考察上、下极限的值去探讨极限的存在性经常是很有效的.此外,也常遇到这样的问题,需要估计充分大，数列｛｝中的能有多大（小）？或者通过对上、下极限值的估计解决所提出的问题.文献[1-2]进一步给出如下结论： 定理 1 对任何有界数列｛｝有. 定理 2 的充要条件是==A. 定理 3 设｛｝为有界数列, 则有： （1）为｛｝上极限的充要条件是：对于任意的， (i) 存在 ，使得当 时,有 ； (ii) 存在子列，，. (2) 为｛｝下极限的冲要条件是: 对于任意的， (i) 存在 ，使得当 时,有 ； (ii) 存在子列，，. 定理 3