几类特殊矩阵的满秩分解及其应用.报告方案.docVIP

目 录 0 引言 1 1 预备知识 1 2 几类特殊矩阵满秩分解 2 2.1 酉对称矩阵的满秩分解 2 2.2行（列）对称矩阵的满秩分解 3 2.3行（列）反对称矩阵的满秩分解 4 2.4全对称矩阵中具有轴对称结构矩阵的满秩分解 4 2.5广义延拓矩阵的满秩分解 5 3 矩阵的满秩分解的应用 6 3.1 利用矩阵的满秩分解求广义逆矩阵 6 3.1.1 利用矩阵的满秩分解求广义逆矩阵 6 3.1.2 利用矩阵的满秩分解求M-P广义逆矩阵 7 3.2 线性方程组的极小最小二乘问题 8 参考文献 致谢 几类特殊矩阵的满秩分解及其应用 赵爱霞 （天水师范学院 数学与统计学院, 甘肃天水 741001） 摘要 介绍了五类特殊矩阵，即酉对称矩阵、行（列）对称矩阵、行（列）反对称矩阵、全对称矩阵及广义延拓矩阵，的满秩分解和求解方法，并说明了满秩分解在求广义逆中的应用. 关键词 酉对称矩阵;行（列）对称矩阵; 行（列）反对称矩阵;全对称矩阵;广义延拓矩阵;广义逆矩阵;满秩分解. Full Rank Decomposition and Application for some kinds of Special Matrix ZHAO Aixia (School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University, Tianshui 741001) Abstract The formulas and methods, for full rank decompositions of five kinds of special matrices, such as unitary symmetric matrix, row (column) symmetric matrix,row (column) negative symmetric matrix, full symmetric matrix, are given, Moreover, we show the importance of the full rank decomposition in finding generalized inverse of matrix, Key words unitary symmetric matrix, row (column) symmetric matrix,row (column) negative symmetric matrix, full symmetric matrix, generalized inverse matrix, generalized continuation matrix, full rank decomposition. 几类特殊矩阵的满秩分解及其应用 0 引言 自20世纪50年代以来矩阵的理论和计算方法的研究取得了长足的发展,矩阵理论的应用日益广泛.矩阵已成为人们探索新理论的工具,矩阵分解的应用也越来越受到人们的重视,例如在文献中都有不同的研究.在数值线性代数中,我们常常需要将数域上的某个已知矩阵写成若干满足一定条件的特殊类型的矩阵之和或矩阵之积的形式,并把这种矩阵表示成为矩阵分解.矩阵分解中有一类特殊的矩阵的分解,即矩阵的满秩分解,矩阵的满秩分解及其相关行满秩列满秩矩阵的定义和相关性质都有广泛的应用,本文给出几类特殊矩阵的满秩分解的公式和快速算法. 1 预备知识 定义(满秩分解)设是秩为的矩阵,若存在列满秩矩阵和行满秩矩阵,使得 (1) 则称（1）式为矩阵的满秩分解. 定义(行酉对称矩阵)令为任意给定的负矩阵,为任意给定的正整数.定义为,其中为酉变换矩阵,矩阵称为的次行酉对称矩阵. 定义(列酉对称矩阵)令为任意给定的负矩阵,为任意给定的正整数.定义为,其中为酉变换矩阵,矩阵称为的次列酉对称矩阵. 定义设,矩阵的行转置与列转置矩阵分别为 若,则称为行（列）对称矩阵; 若,则称为行（列）反对称矩阵. 定义设,若则称为全转置阵,记为;若,则称为全对称矩阵. 定义(广义行延拓矩阵)设,可逆矩阵为任意为给定的正整数.定义为 , 其中矩阵称为的广义行延拓矩阵. 定义(广义列延拓矩阵)设,可逆矩阵为任意为给定的正整数.定义为 , 其中矩阵称为的广义列延拓矩阵. 2 几类特殊矩阵满秩分解 2.1 酉对称矩阵的满秩分解 酉对称矩阵有两种形式分别为行酉对称矩阵和列酉对称矩阵,下面对这两种矩阵的满值分解做出介绍.首先,给出行酉对称矩阵的满秩分解. 定理 2.1.1 设,存在使令 则 〈1〉分别是行满秩矩阵和列满秩矩阵; 〈2〉. 对于列酉对称