高等数学(上册)教案22定积分的概念与性质讲解.docVIP

第5章 定积分及其应用 定积分的概念与性质 【教学目的】： 理解曲边梯形的面积求法的思维方法； 理解定积分的概念及其性质； 掌握定积分的几何意义 ； 【教学重点】： 定积分的概念及其性质； 【教学难点】： 曲边梯形面积求法的思维方法； 【教学时数】：2学时 【教学过程】： 案例研究 引例5.1.1 曲边梯形的面积问题 所谓曲边梯形是指由连续曲线(设)，直线，和(即轴)所围成的此类型的平面图形（如图5-1所示）．下面来求该曲边梯形的面积． 分析 由于“矩形面积=底高”，而曲边梯形在底边上各点处的高在区间上是变动的，故它的面积不能按矩形面积公式计算. 另一方面，由于曲线在上是连续变化的，所以当点在区间上某处变化很小时，相应的也就变化不大.于是，考虑用一组平行于轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，当分割得较细，每个小曲边梯形很窄时，其高的变化就很小.这样，可以在每个小曲边梯形上作一个与它同底、以底上某点函数值为高的小矩形，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，进而用所有小曲边梯形的面积之和近似代替整个曲边梯形的面积（如图5-2所示）.显然，分割越细，近似程度越高，当无限细分时，所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值. 根据以上分析，可按以下四步计算曲边梯形的面积. （1）分割 在闭区间上任意插入个分点， ， 将闭区间分成个小区间 ， 它们的长度依次为 ， 过每一个分点作平行于轴的直线，把曲边梯形分成个小曲边梯形； （2）取近似 在每个小区间上任取一点，以小区间为底，为高作小矩形，用小矩形的面积近似代替相应的小曲边梯形的面积，即 ， （3）求和 把这样得到的个小矩形的面积加起来，得和式，将其作为曲边梯形面积的近似值，即 ； （4）取极限 当分点个数无限增加，且小区间长度的最大值（）趋于零时，上述和式的极限值就是曲边梯形面积的精确值，即 . 5.1.1 定积分的定义 定义1 设函数在闭区间上有界，在闭区间中任意插入个分点 ， 将区间分成个小区间 ， 各小区间的长度依次为 ， 在每个小区间上任取一点，作函数值与小区间长度的乘积，并作和，记 ， ， 当无限增大且时，若上述和式的极限存在，则称函数在区间上可积，并将此极限值称为函数在上的定积分，记为 . 即 ， 其中称为积分变量，称为被积函数，称为被积表达式， 称为积分下限，称为积分上限，称为积分区间，符号读作函数从到的定积分. 按定积分的定义，两个引例的结果可以分别表示为： ，， 关于定积分的定义作以下几点说明： （1）和式的极限存在（即函数在上可积）是指不论对区间怎样分法，也不论对点怎样取法，极限都存在. （2）和式的极限仅与被积函数的表达式及积分区间有关，与积分变量使用什么字母无关，即 . （3）定义中要求积分限，我们补充如下规定： 当时， 当时， （4）函数可积的两个充分条件： 若上连续，则上可积。 若上有界，且只有有限个第一类间断点，则上可积。 定积分的几何意义 当时，由前述可知，定积分在几何上表示由曲线，两直线与轴所围成的曲边梯形的面积； 如果，这时曲边梯形位于轴下方，定积分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值，如图5－3； 当在上有正有负时，定积分在几何上表示轴，曲线及两直线所围成的各个曲边梯形面积的代数和（见图5－4），即 . 5.1.2 定积分的性质 以下性质中函数均为可积函数. 性质1 函数和（差）的定积分等于它们定积分的和（差）, 即 . 性质1可推广到有限多个函数代数和的情形. 性质2 被积函数的常数因子可以提到定积分的符号外面， 即，（为常数）. 性质3 如果在区间上，则 ， 特别地，时，. 性质3的几何意义如图5－7所示. 性质4（积分区间