國中數學通訊解題第五期參考解答及評析-建中首頁.docVIP

中學生通訊解題第五期解答及評析 問題編號 89501  為比大的正整數，試證明不是完全平方數，也不是完全立方數。 參考解答： （1） 設為完全平方數，則存在一個整數，使 因為為奇數，所以為奇數 設，其中為整數 所以 偶數 = 奇數，不成立 所以假設為完全平方數不成立 故得證不是完全平方數 （2） 設為完全立方數，則存在一個正整數，使 因為為奇數，所以為奇數，為奇數 因為，為的因數 得到有奇數因數，不成立 所以假設為完全立方數不成立 故得證也不是完全立方數 評析：（1）此題首先要看學生是否會用反證法，再利用完全平方及立方和等基本乘法公式，做簡單的判別奇偶。 （2）參答者中，北市永吉國中黃紹倫同學達題清楚嚴謹，值得鼓勵。 （3）本題參達人數共有251人，平均得分為5.54分，得分率為78%。 問題編號 89502  有一個數列共有項，此數列中任何個連續項之和都是負數，任何個連續項之和都是正數。試求滿足上述條件的值中最大為多少？ 參考解答： 解一： 設此數列為 ∵ ，……(1) ，……(2) 由(1),(2) 即由第8項起，任意連續4項和皆為正數……(a) ……(3) ……(4) 由(3)+(4) 又因 ∴ ，如此類推， 又當時， 由推論(a)矛盾 ∴故，即最多為16 解二： 5,5,-13,5,5,5,-13,5,5,-13,5,5,-13,5,5,5,-13,5,5為滿足問題條件之數列 其長度為16項 令表示具有上述性質的項實數列 僅需證不合，於是本題答案就是16項 如果滿足要求，令表示的各項 上表中所有橫排的和為負，所有的直排的和為正，矛盾 故所有具有17項或以上的都不合，即為所求 評析：1.本題為數列組合問題，難度較高，如果依照題意的假設及嘗試組合驗 證，相信必能掌握解題關鍵。 2.參答中以北市永吉國中黃紹倫同學表達完整，值得嘉許，此外答題優良者有彰化員林國中羅元隆、台北縣新莊國中吳之堯、福和國中劉胤廷、高雄市陽明國小六年級蔡政江同學。 3.本題參答人數共有14人，平均得分為5.35分，得分率為76%。 問題編號 89503  設有四個數，現在將這四個數兩兩相加構成六個不同的數，若將此六個數由小到大順序排列會形成一個等差數列，且和為201。試求之值。 參考解答： 由條件知其兩兩之和為六個數，有如下之關係式： 根據和的大小關係可分為兩種情況： （1） 由等差數列性值得知： (公差) 即 ， 於是，， 又六個數之和為201 ∴ 故，， （2） 類似地，可得，， 解題重點： 1.本題的解題重點根據1+c與a+b的大小分成1+a1+ba+b1+ca+cb+c與1+a1+b1+c a+ba+cb+c兩個情形。 2.根據以上兩種形，再利用等差數列的定義即可解出a,b,c的值。 評析： 1.有一半的答題者(約51%)考慮到根據1+c與a+b的大小來分成兩種情形去討論，因此幾乎都能解出a,b,c。可是也有接近一半的答題者(48%)只考慮了一種情形，而解得一組a,b,c的答案。另一方面，答題者都能利用等差數列的定義去解a,b,c的值，雖然國中教材中只學二元一次聯立方程組，但答題者都能推廣解法去解a,b,c的值。 2.本題的參答人數共有97人，答對的有47人，平均得分為4.12分，得分率為59%。 問題編號 89504  有三個正數它們的乘積為1，且此三數的和大於它們的倒數和。試證明：這三個正數中恰有一數大於1。 參考解答： 設此三正數為 因為且 這表示三數中有一個正數或三個都為正數 如果三個都是正數，則都比1大與不合 所以三個都是正數不成立 故得證三數中恰有一個正數 即三數中恰有一數大於1