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射影坐标系和射影变换 二次曲线的射影性质 第五章射影坐标系和射影变换将一维笛氏坐标与射影坐标的关系以齐次坐标表达。 解 设一维笛氏坐标系中，一点的坐标为x，则齐次坐标为（x1，x2），且x＝一点的射影坐标为λ，齐次坐标为（λ1,λ2）且λ=，将λ和x代入关系式（1）有化简得： 2、在直线上取笛氏坐标为 2，0，3的三点作为射影坐标系的A1,A2, E(i)求此直线上任一点P的笛氏坐标x与射影坐标λ的关系；（ii）问有没有一点，它的两种坐标相等？解氏 0 2 3 x 射影坐标：A2 A1 E λ （i）由定义 λ=（A1A2，EP）=（2 0，3x） (ii) 若有一点它的两种坐标相等，即x=λ则有3x2－7x=0，当x=0及x=时两种坐标相等。 3、在二维射影坐标系下，求直线A1EA2E，A3E的方程和坐标。 解坐标三角形顶点A1（1，0，0）A2（0，1，0）A3（0，0，1）和单位点E（1，1，1） 设P（x1，x2，x3）为直线A1E上任一点，其方程为：即x2－x3=0，线坐标为（0，1, －1） 直线A2E的方程为：即x1－x3=0，线坐标为（1，0，－1）； 直线A3E的方程为：即x2－x1=0，线坐标为（－11，0） 写出分别通过坐标三角形的顶点A1，A2，A3 的直线方程。 解设平面上任意直线方程为 u1x1+u2x2+u3x3=0过点A1(1，0，0)时u1=0，即为u2x2+u3x3=0 ， 过点A2(0，1，0)时u2=0，即为u1x1+u3x3=0 ， 过点A3(0，0，1)时u3=0，即为u1x1+u2x2=0 。 5、取笛氏坐标系下三直线x－y=0x+y－1=0x－2=0分别作为坐标三角形的边A2A3，A3A1，A1A2，取E（）为单位点，求一点的射影坐标（x1，x2，x3与笛氏坐标（x，y，t）的关系。解E（），e1=，e2=，e3=。任意一点M（x，y）到三边的距离为：ρ1=，ρ2= ，ρ3= ∴射影坐标（x1，x2，x3）与笛氏坐标的关系为：ρx1==x－yρx2==x+y－ρx3==－2x+4t 6、从变换式 求出每一坐标三角形的三边在另一坐标系下的方程。 解A1A2A3三边，A1A2：x3=0；A1A3：x2=0；A2A3：x1=0。从变换式可求得A1A2A3的三边在坐标系A1A2A3下的方程 A1A2的方程为：x3=0，即x1+x2－x3=0A1A3的方程为：x2=0，即x1－x2+x3=0。 A2A3的方程为：x1=0，即－x1+x2＋x3=0。逆变换 △A1A2A3的三边，A1A2：x3=0；A1A3：x2=0；A2A3：x1=0。 从变换式可求得A1A2A3的三边在坐标系A1A2A3下的方程 x1+x2=0，即A1A2的方程。 x1+x3=0，即A1A3的方程。 x2+x3=0，即A2A3的方程。 7、若有两个坐标系，同以A1A2A3为坐标三角形，但单位点不同，那两种坐标间的转换式为何？ 解设变换式为： 已知（10,0）→（10,0）（01,0）→（01,0）（00,1）→（00,1）分别代入变换式得 ρ1=a11，a21=0，a31=0 ρ2=a22，a12=0，a32=0ρ3=a33，a13=0，a23=0 故有 又（11,1）→（ab,c） 即a：b：c = a11：a22：a33 故变换式为： 在拓广欧氏平面上求平移 的二重元素。解设x=y=，则有，即μ=1为三重根。μ=1代入方程组：解得： 所以在有限欧氏平面上，在平移变换下无二重元素，在拓广欧氏平面上，1∞上的所有点（ x1，x2，0）皆为二重点。求二重直线λ=1为三重根。λ=1代入方程组：得u1，u2可取任意数au1+bu2+0u3=0 所以二重直线是通过点（a，b，0）的一切直线，即以为斜率的平行线束及无穷远线，这平行线束即平移方向的直线集合。 9、求射影变换的二重元素。 解求二重点二重点（x1，x2，x3）应满足 μ1=1为二重根，μ2=－1为单根。 将μ1=1代入式得x1=0，x2，x3为任意数，所以二重点为（0，x2，x3）但x2，x3不同时为零此为坐标三角形的x1=0上的一切点将μ2=－1代入（2）式得二重点（x1，0，0），此为坐标三角形的顶点A1（1，0，0）。 求二重直线λ1=1及λ2=－1将λ1=1代入得二重直线1=0，即过A1（1，0，0）的一切直线将λ=－1代入得二重直线x1=0，为坐标三角形