第7章2克莱姆法则矩阵及其运算.pptVIP

● 矩阵的基本运算及性质 ●线性方程组的矩阵表示法（2） 例如： 无意义！ 左边矩阵 右边矩阵 的 列 数 的 行 数 注意： AB存在，BA无意义， 例题：计算下列各题 （1） （2） AB与BA不同型 同型 但不相等。 （3） （4） （5） （6） 特殊 AB=BA （1）一般地， ，即乘法不满足交换律。 （2）当AB=BA时，称A、B为可交换矩阵，或 称A、B可交换。此时，A、B必为同阶方阵。 小 结 与 特别地，有： ，即 可交换。 （8） （7） 或 矩阵的乘法运算 不满足消去律 ●矩阵相乘的运算规律： 一般地： 或 若 A 是方阵，则乘积 有意义，记作 称为 A 的 k 次幂。 或 （1） （2） （3） （4） （5） 性质 ——（1） 若记： 则方程组（1）可记为： * * * * * * 学习要求 理解Cramer法则，会用Cramer法则解方程组； 理解矩阵的概念，了解单位矩阵、对角矩阵 三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反 对称矩阵的定义及性质； 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算率， 了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质。 如果线性方程组 的系数行列式D不等于零， 则方程组有唯一解 ●行列式的应用——Crammer法则 （1） 证明 例1 用Cramer法则求解线性方程组 解 系数行列式为 所以 小结：Crammer法则的使用有极大的局限性 （1） Crammer法则只能用于求解方程个数与未知数 个数相等的线性方程组； （2） Crammer法则只能求得系数行列式不为零时的 线性方程组的唯一解； 即如果方程个数与未知数个数不相等，或系数 行列式等于零，则Crammer法则失效。 （3）计算量大，要计算 n+1 个 n 阶行列式的值。 如何解决这些问题呢？留待第七章解决。 ●齐次线性方程组 常数项全为零的线性方程组，称为齐次线性方程组。 这样的方程组一定有解，至少有零解 根据Crammer法则，当系数行列式D≠0时，齐次线性 方程组只有唯一的零解；否则，当系数行列式 D=0 时， 齐次线性方程组有非零解（无穷多个）。 例2 当k为何值时，下面的方程组只有零解？ 解 因为系数方程组的行列式为 所以当 k≠5且 k≠1时，原方程组只有零解 （当 k＝5或 k＝1时，原方程组有非零解） 用加减消元法求解二元一次方程组 （1） （2） 得 得 ● 矩阵的引入 当 时 可见，在求解方程组的过程中，只有方程组的系数和常数项进行运算，未知量只是进行同类项的合并。 在日常生活中，我们也经常关心一些数表：如价格表、股票行情表、财务报表等等，这些重要的“矩形数表”，在数学学科中，则可用矩阵来表示。 的第一个下标 称为行标， 第二个下标 称为列标。 其中： 称作矩阵的元素。 矩阵的定义（见书P233定义1） 简称为 矩阵，简记作 矩阵的一般形式如下： ● 矩阵的概念 称为方程组的增广矩阵 称为方程组的系数矩阵 设有线性方程组 线性方程组与矩阵之间可建立一一对应的关系 ●行矩阵（行向量）——只有一行的矩阵。 等…… ●列矩阵（列向量）——只有一列的矩阵。 等…… 几种特殊形式的矩阵 等…… ●零矩阵 ——所有元素都为零的矩阵，简记作 。 ●方阵——行数和列数相等的矩阵。如： 等…… 二阶方阵 三阶方阵 n阶方阵 如 等…… ●对角形矩阵——主对角线上的元素不全为零，其它的 元素都为0的方阵，简记作 。 ●单位矩阵——主对角线上的元素都是1的对角形矩阵， 简记作 。如： 等…… ●上三角形矩阵——主对角线下方元素全为零、上方的 元素