第7章有限长单位抽样响应数字滤波器的设计要点分析.ppt

使式(7.5.1)所定义的加权逼近误差函数 的最大绝对值在各个要求逼近的频带内达到最小，即 式中，||E(ω)||为得到的最小值，A为所要求逼近的通带和阻带。 7.5.2 交错点组定理 若H(ω)是r个余弦函数的线性组合，即 A是[0,π]内的一个闭区间（包括通带、阻带，但不包括过渡带），Hd(ω)是A上的一个连续函数，则Hd(ω)的唯一和最佳一致逼近的充要条件是：加权逼近误差函数E(ω)在A中至少存在r+2个交错频率点ω0ω1…ωr+1,使得 图7.5.1低通滤波器的最佳逼近波形 r=(N-1)/2=7(N=15) 交错点组： 0、ω1、ω2、ωp、ωst、ω3、ω4、ω5、ω6、π （1）交错点数最多可能是r+3个 （2）交错点比出现在ω=ωp、ωst处 （3）除ω=0或ω=π外，滤波器在通带和阻带内必是等波纹的 7.5.3 设计方法 若希望设计的滤波器为线性相位理想低通滤波器，其幅度响应函数为 现在的任务就是寻求一个H(ω) ，使其在通带和阻带内最佳一致逼近Hd(ω) ，当然为了保证线性相位，频率响应函数 要满足表7.1.1中的相应条件。图7.5.1中，δ1为通带内波纹峰值、 δ2为阻带内波纹峰值。因此在设计滤波器时，共有五个指标参数，即ωp 、 ωst 、δ1、δ2和单位抽样响应h(n)长度N。 对于低通滤波器，误差的加权函数为 定义为 用这种加权方式，逼近误差的最大绝对值在通带和阻带上均为δ=δ1 。 依据交错点组定理，若知道A上的r+2 （此时r=(N-1)/2）个交错点频率，则依据式(7.5.3)，得 （7.5.4） 将上式写成矩阵形式 瑞米兹（Remez）算法可以设计任何最优的线性相位FIR滤波器，是一种非常实用的算法，将该算法的步骤归纳如下： （1）在频率子集A上等间隔地取r+2个频率点ωi（i=0,1, …,r+1 ）作为交错点组（极值点频率）的初始猜测值。将这r+2个 代入下式求出 （7.5.5） 式中 此时的δ是相对于第一次猜测的交错点组产生的偏差，一般不是最优值。接下来依据重心形式的拉格朗日插值公式求得H(ω) ，即 （7.5.6） （7.5.7） 式中 把求得的H(ω)代入式(7.5.1) 中，求出加权逼近误差函数E(ω)。若对这组交错点组中的所有频率都满足 | E(ω )||δ|，则说明δ是纹波的极值，且初始猜测ωi（i=0,1, …,r+1）恰好是交错点组频率，计算即可结束。 （7.5.8） （2）对上次确定的交错点组 ωi（i=0,1, …,r+1）中的每一点，都检查在其附近是否存在使| E(ω )||δ|的频率点，如存在，则在该点附近找出局部极值点，并用找到的这一局部极值点代替原来的点。待r+2点都检查完毕，便得到一组新的交错点组频率ωi（i=0,1, …,r+1） ，再次依据式(7.5.5)～(7.5.8) 重新计算δ 、 H(ω)和E(ω) ，这样就完成了一次迭代，也就完成了一次交错点组的调整。 （3）利用和（2）相同的方法，再次调整交错点组中频率。 重复上述步骤。由于每次得到的新的交错点组频率都是上一次交错点组频率所确定的E(ω)的局部极值点频率，因此在迭代过程中δ是递增的，最后δ收敛到自己的上限，也即H(ω)最佳一致地逼近Hd(ω)的解。所以，迭代过程在重复到新的δ与上一次的δ相同时即可结束。由最后一组交错点ωi（i=0,1, …,r+1）依据式(7.5.7)求出 ，再加上线性相位条件，作DTFT（FFT）即可求出 。 等波纹最佳逼近法设计线性相位FIR滤波器的步骤 （1）确定滤波器的性能要求。主要是指确定所希望设计滤波器的幅度频率响应函数Hd(ω) 、 W(ω)误差加权函数W(ω)和滤波器单位抽样响应长度N。 （2）确定所希望设计滤波器的类型。这些类型包括低通、高通、带通、带阻、差分器和Hilbert变换器。 （3）运用瑞米兹算法，求逼近问题 E(ω)= W(ω)[H(ω)-Hd(ω)]的解，得到H(ω)。 （4）计算所设计滤波器的单位抽样响应h(n)。 当N为偶数时， 为N-1奇数，由于 ，则可取 但此时A(k)=-A(N-k)，则 所以此时可以将幅度抽样和相位抽样改写为 综合上述分析过程，可得到如下设计公式： （1）N为奇数 （2）N为偶数 (7.4.9) (7.4.10) 例如：设计所希望的滤波器是理想低通滤波器，要求截止频率为ωc，抽样点数N为奇数，则A(k) 、φ(k)可以下列公式计算： kc为小于或等于 的最大整数。 7.4.4 逼近误差 1、逼近误差的特点 例7.4.1 用频率抽样法设计一个具有第一类线性相位FIR低通滤波器，要求截止频率