第三章 导数与微分要点.pptVIP

3.1.4 导数的几何意义 3.1.5 函数的可导性与连续性的关系 定理 凡可导函数都是连续函数. 3.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 3.2.2 反函数的求导法则 3.2.3 复合函数的求导法则 3.2.4 基本求导法则与导数公式 1.常数和基本初等函数的导数公式 3.反函数的求导法则 M N T ） P 几何意义:(如图) 3.5.2 微分的几何意义 3.5.3 微分的计算 函数的微分的表达式 求法: 计算函数的导数,乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式 2. 函数和、差、积、商的微分法则 3. 复合函数的微分法则 与复合函数的求导法则相应的复合函数的微分法则 可推导如下: 设 及 都可导, 则复合函数 的 微分为 上式说明无论是u自变量还是中间变量其微分形式不变, 这一 性质称为微分形式不变性. 例3 解 例4 解 例5 解 应用积的微分法则,得 3.5.4 微分在近似计算中的应用 或写成 （1） 上式中令 （2） ，则 特别地,当x0=0， 很小时,有 （3） 公式(1) (2) (3)可用来求函数f(x)的近似值。 ，且 很小时，我们有近似公式 在 x0 点的导数 由微分的定义可知，当函数 注： 在求 的近似值时，要选择适当的 ，使 ， 容易求得，且 较小． 应用（3）式可以推得一些常用的近似公式,当 很小时,有 (1) （ｘ用弧度作单位） (3) (4) (5) (2) (ｘ用弧度作单位） 例6 则 解: 设 取 ， 于是由（2）式得 即 3.6 导数在经济分析中的意义 3.6.1 边际分析 定义1 设函数 在点 处可导， 边际函数值。其含义为:当 时,x改变一个单位，相 在点 处的导数 称为 在点 处的 相应地 y 约改变　　 个单位． 为 的边际函数。 称导函数 当 时, 实际上， 解 ,所以, 在 时的边际函数值。 ,试求 例1 设函数 边际成本是总成本的变化率。 设C为总成本， 下面介绍几个常见的边际函数: 1．边际成本 为固定成本， 则有 为可变成本， 为平均成本， 为边际成本， 为产量， 总成本函数 平均成本函数 边际成本函数 例1 已知某商品的成本函数为 ,求当 时的总成本，平均成本及边际成本。 解 由 令 得 边际成本 于是当 时 总成本 平均成本 Q 为多少时，平均成本最小? 例2 在例1中，当产量 解 所以,当Q = 20时平均成本最小。 解 例10 例11 解 例12 解 2.函数的和、差、积、商的求导法则 设 ) ( ), ( x v v x u u = = 都可导，则 （ 1 ） v u v u ￠ ￠ = ￠ ) ( , （ 2 ） u c cu ￠ = ￠ ) ( （ 3 ） v u v u uv ￠ + ￠ = ￠ ) ( , （ 4 ） ) 0 ( ) ( 2 1 ￠ - ￠ = ￠ v v v u v u v u . ( 是常数) 或 3.3 高阶导数 1.如果 的导数存在，称为 的二阶导数 记作： ， 或 2. 仍是x的函数，还可以进一步考虑 有三阶导数 或 ， 四阶导数 或 ， …… n阶导数 或 . 3.f(x)在x处有n阶导数，那么 在x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数；二阶及二阶以上的导数统称高阶导数 4.问题：如何求函数的高阶导数？ 一步一步来，利用已知函数的一阶导数公式及运算法则 高阶导数应用举例 解 例1 y=ax+b, 求 例2 求 解 例3 证明:函数 满足关系式 证 将 求导,得 于是 下面介绍几个初等函数的n阶导数 例4 求指数函数 的n阶导数 解 一般地,可得 即 例5 求正弦与余弦函数的n阶导数 解 一般地,可得 即 用类似方法,可得 例6 求对数函数ln(1+x)的n阶导数 解 一般地,可得 即 通常规定0!=1,所以这个公式当n=1时也成立. 例7 求幂级数的n阶导数公式 解 那么 一般地,可得 即 高阶导数运算法则 (3)称为莱布尼兹公式 例8 解 代入莱布尼茨公式,得 3.