专题讲座2递推数列.docVIP

递推数列 本讲的主题是递推数列。数列的若干连续项之间的关系叫递推关系，表达递推关系的式子叫递推式，由递推关系和初始条件给出的数列叫做递推数列。我们熟悉的等差数列和等比数列实际上都是递推数列。等差数列可以表示成 （是常数），等比数列可表示为（都是为不零的常数）. 递推数列的热点问题是求通项及其前n项和.求递推数列的通项公式的方法较多，也比较灵活，主要应掌握一些常见的方法,其解题的基本思想方法是：把问题转化为等差数列或等比数列的问题加以解决。 递推数列可以按递推式所含数列连续项的个数进行分类. 由两个连续项之间的关系式及一个初始项所确定的数列叫做一阶递推数列. 由三个连续项之间的关系式及两个初始项，所确定的数列叫做二阶递推数列. 一般地，由个连续项之间的关系式及个初始项，，…所确定的数列叫做阶递推数列. 例1：数列中，已知=1,=+2+3 (),求 解：=+2+3 = 2+3 = 2+3 以上（）个式子相加得 = 2（2+3+……+）+3 = +2 = ()， 又=1时，=1+44=1, = 上述求通项的方法，我们叫做迭加法. 例2．数列中，已知： , =1，求通项公式. 解：，，两式相减得： 即= 又=1 = 小结：当递推公式：=f(n)时，可以用迭乘法. 例3. 数列中，已知=2，3，求通项公式. 解：由3得： 设 即 =3 是首项为5，公比为的等比数列. 结论：以上解法是将原数列的递推公式适当变形，构造新的等差数列或等比数列. 例4. 数列中，=， 求通项公式. 解：由得： 设 是等比数列,首项 ，公比 因此， 例5.已知正数数列中前n项和= （），求通项公式. 解法1： = = 2=+ += 是公差为1的等差数列 = (), = (), 又，=1，符合上式. 解法2： = = () 两式相减得：2= （*） （ = ( 是公差为4首项=2的等差数列 ， = +2= （ 由（*）知： 舍 在数列中，已知，，（为常数），求通项，可以用迭差法；也可以转化为构造新的等比数列，其中是方程的根；当数列的递推公式是时，用迭乘法求它的通项公式比较方便。总之，我们将问题转化为我们熟悉的等差等比数列去解决。 5