一题多解专题三利用导数证明不等式问题.docVIP

一题多解专题三：利用导数证明不等式问题 令，则， 故，即 （ii） 由（i)、（ii）得，当时，， 记，则当时， 因此在（0,2）内是递减函数，又，得， 故时，. 针对性练习： 1．设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，xR. (1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a＞ln 2－1且x＞0时，ex＞x2－2ax＋1. 解析　(1)由f(x)＝ex－2x＋2a，xR知f′(x)＝ex－2，xR.令f′(x)＝0，得x＝ln 2. 于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减 2(1－ln 2＋a) 单调递增 故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)． (2)设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，xR， 于是g′(x)＝ex－2x＋2a，xR. 由(1)知当a＞ln 2－1时，g′(x)的最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)＞0. 于是对任意xR都有g′(x)＞0，所以g(x)在R内单调递增． 于是当a＞ln 2－1时，对任意x(0，＋∞)，都有g(x)＞g(0)． 而g(0)＝0，从而对任意x(0，＋∞)，g(x)＞0. 即ex－x2＋2ax－1＞0，故ex＞x2－2ax＋1. 在上是增函数。 求正实数的取值范围； 设，求证： 解：（1）对恒成立， 对恒成立 又 为所求。 （2）取，， 一方面，由（1）知在上是增函数， ,即； 另一方面，设函数 ∴在上是增函数且在处连续，又 ∴当时，, ∴, 即 综上所述，。 3.已知函数， 证明：对于任意的两个正数，总有成立； 解：由：， 而：， 又因为：所以：，即：成立。 4.设，函数 . (1)求函数 的单调区间； (2)当时，函数 取得极值，证明：对于任意的 . 解：(1) ①当时，恒成立，在上是增函数； ② 当时，令，即，解得. 因此，函数在区间 内单调递增， 在区间 内也单调递增. 令，解得. 因此，函数在区间 内单调递减. （2）当时，函数取得极值，即 ， 由(Ⅰ)在单调递增，在单调递减，单调递增. 在时取得极大值；在时取得极小值， 故在上，的最大值是，最小值是； 对于任意的