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高三第一轮复习数学---球 一、教学目标：了解球、球面的概念, 掌握球的性质及球的表面积、体积公式, 理解球面上两点间距离的概念, 了解与球的有的内接、外切几何问题的解法． 二、教学重点： 球面与球体的有关概念、性质与计算公式是重点，球面上两点间的距离是本小节的难点。 三、教学过程： （一）主要知识： 1、球的概念：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。球面所围成的几何体叫做球。半圆的圆心叫做球心。连接球心与球上任意一点的线段叫做球半径。连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。球面被经过球心的平面所截得的圆叫做大圆。被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆。 2、球的截面圆的性质： 球心到截面圆心的连线垂直于截面； 球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r，有下面的关系： r2=R2－d2。 3、两点的球面距离的定义：在球面大圆上两点间的劣弧的长度。 求两点的球面距离的方法：将A、B两点与球心O连线，先求出弦长AB，在三角形ABO中求出∠AOB的弧度数，由公式弧长l=θR得到。 4、球的表面积与体积：S球面=4πR2，V=4/3πR3。 5、地球上的经度与纬度各指什么？ 6、与球有关的结合体问题（内切，外接）的解法：先明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系并作出合适的截面图。 （二）例题分析： 例1：如图，在北纬450的纬度圈上有A，B两点，它们分别在东经700与东经1600的经度圈上，设地球的半径为R，求A、B两点的球面距离。 解：如图设北纬450圈的圆心为O1，地球球心为O，则∠AO1B=1600-700=900，∠OBO1=450，OB=R，∴O1B=O1A= R，AB=R，连接AO、AB，则AO=BO=AB=R，∴∠AOB=600，∴ =。 思维点拨：为求A、B两点间的球面距离，要把它组织到△AOB中去分析，只要求得∠AOB的度数便可求得球面距离。 变式：地球上A，B两点分别在北纬600与300圈上，且经度差为1200，设地球的半径为R，求A，B两点的球面距离。 解：如图，连接AO、BO，∵A，B分别在北纬600与300圈上，∴AC=Rcos600=R/2，OC=Rsin600=R，BD=Rcos300= R，OD=Rsin300=R/2，CD=OC－OD=R，又∵A，B两点的经度差为1200，即平面AOC与平面BOD所成的二面角为1200，∴AB2=AC2+BD2+CD2－2?AC ?BDcos1200==(2－) R2。 ∴cos∠AOB===。∴所球距离为Rarccos。 例2：在球内有相距9cm的两个平行截面，面积分别为49πcm2、400πcm2，则求的表面积为__________。 解：作球的一个大圆O，当两个截面在球心O的同侧时，解得R=25。当两个截面在球心O的两侧时无解。∴S表=2500πcm2。 思维点拨：立体几何中的相互位置关系，也应注意分类讨论。 例3：求半径为R的球内接长方体体积的最大值。 解：作截面ACC1A1，设∠CAC1=θ，则C1C=2Rsinθ，AC=2Rcosθ，所以AB=Rcosθ。故V=AB2×CC1=2R2cos2θ×2Rsinθ=4R3× cos2θsinθ=≤。当且仅当2sin2θ=cos2θ，即tanθ=时取“=”。 思维点拨：立体几何中的最值问题，首先确定目标函数再求其最值。 例4：已知球的半径为R，在球内作一内接圆柱，这个圆柱的底半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值为多少？ 解：作轴截面图，令圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为S，则，即h=，∴S=2πrh=4πr=4π=2πR2，取等号时，内接圆柱底面半径为R，高为R。 选讲题：一个球内切于正三棱锥P－ABC。 （1）若棱锥的侧面与底面所成的角为600，求棱锥的体积与球的体积之比； （2）若棱锥的体积与球的体积之比等于（1）所求出的值，则棱锥的侧面与底面所成的角是否一定为600，说明理由。 解：（1）如图甲，由对称性可知，球心Q在棱锥的高PO上，取BC的中点D，则PD⊥BC，AD⊥BC，故∠PDA是侧面与底面所成二面角的平面角，即有∠PDA=600。∵P－ABC是正三棱锥，∴O在AD上，故球心Q在平面PAD内。故过P，A，D三点的截面如图乙，其中圆Q是球的一个大圆。设底面ABC的边长为a，由DQ平分∠PDA得R=OQ=OD?tan300= a? tan300=，又PO=OD?tan600=，∴。 （2）设正三棱锥的侧面与底面所成的二面角为2α，仿（1）得，由题设得=，即tan2α=9tan3α。化简并整理可得tan2α=1/3或 tan2α=2/3。又α为锐角，∴tanα=或tanα=，即2α=或2arctan，故棱锥侧面与底面所成的二面角未必为。 思维点拨：1）组