浙财东方学院微积分B第七章分析报告.ppt

* 例题与讲解 例：计算 其中D 是由中心在原点, 半径为a的圆周所围成的闭区域。 解：由于积分区域为圆域，被积函数是f(x2+y2) 形式，故采用极坐标计算 * 练习(1) * 练习解答 * 练习解答 * 练习解答 * * 浙江财经学院本科教学课程 ----经济数学(一) 微积分 * 二元函数极值示例 示例1. (1) 示例2. (2) 示例3. (3) * 练习 * 练习解答 * * 多元函数的最值 与一元函数相类似,我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值。 求最值的一般方法： 将函数在定义区域D内所有驻点处的函数值以及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值。 特殊方法： 区域D内只有唯一驻点且为极值点,即为相应的最值点。 根据实际意义、实际经验判断是否为最值。 * 例题与讲解（重点） 例：某企业生产两种商品的产量分别为x、y单位,利润函数为：L=64x-2x2+4xy-4y2+32y-14，求最大利润。 解：由极值的必要条件 解得唯一驻点(40,24). 由 可知,唯一驻点(40,24)为极大值点,亦即最大值点。 最大值为：L(40,24)=1650 答：两产品产量分别为40单位和24单位时,利润最大, 最大利润为1650单位。 * 例题与讲解 练习：已知某产品的需求函数为Q=200000p-1.5x0.1y0.3,其中Q为需求量,p为价格,x为广告费,y为推销费,若产品的可变成本为25元/件,固定成本(不含x,y)为8000元。求最佳经营时的价格、广告费和推销费。 解：利润函数为 最佳经营时,应是总利润最大，故 唯一驻点： p=75 x?355554 y?1066662 * 例1. 要设计一个容量为 V 的长方体开口水箱, 问 求 x , y , z 令 解方程组 解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 下水箱表面积 最小. 使在条件 水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？ ⑴⑵⑶⑷ * ⑴ － ⑵ 得 若 于是 代入⑴式得 不合题意. 若 代入⑶式得 代入⑴式得 代入⑷式得 * 得唯一稳定点 由题意可知合理的设计是存在的, 长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省. 因此 , 当高为 * 例题与讲解 例2：将正数12分成三个正数x、y、z之和,并使U=x3y2z最大。 解： 则 * 例题与讲解 例3：某厂生产A、B两产品,产量分别为x和y (单位:千件),利润函数为L=6x-x2+16y-4y2-2 (单位:万元);已知生产这两产品时,每千件消耗某原料2000公斤,现有该原料12000公斤,问两产品各生产多少,总利润最大？ 解： 条件极值问题 拉格朗日函数 令 解得唯一驻点： 由实际意义可知,最大值为 答：当A生产3.8千件,B生产2.2千件时,利润最大,最大 利润为36.72万元。 * 课堂练习1 某公司拟用甲、乙两个厂生产的同一种产品，若用x代表甲厂的产量，用y代表乙厂的产量，其总成本函数为C=X2+3Y2-XY 求该公司在生产总量为30单位时使得总成本最低的产量？ 解：目标函数C= X2+3Y2-XY 约束条件X+Y=30（即X+Y-30=0） * 课堂练习1(续) * 课堂练习2(条件极值) 设某种产品的产量是劳动力x和原料y的函数， f(x,y)=60x ? y ?,若劳动力单价为100元，原料单价为200元，则在投入30000元资金用于生产情况下，如何安排劳动力和原料，可使产量最多？ 解：目标函数f(x,y)=60x ? y ? 约束条件 x+2y=300（即x+2y-300=0 ） * 课堂练习2(续) * 二重积分的性质(1~5) 性质1 （k为常数） 性质2 性质3 性质4 若?为D的面积,则 性质5 若在D上 则有 特别地: * 二重积分的性质(6~7) 性质6(估值不等式) 设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值,?为D的面积,则 性质7(二重积分中值定理) 设函数f(x,y)在闭区域D上连续,则在D上至少存在一点(?,?),使得 * 例 解： X-型 * 练习 解： （如图）将D作Y型 -1 2 * 解： ［X－型］ * ［Y－型］ * 解： 积分区域如图 x y o 2 3 1 原式 例题与讲解 * 练习：改变积分 的次序 解： 积分区域如图 * 例题与讲解 例：写出积分 在极坐标下二次积分形式, 其中积分区域 解 * 极坐标下化二次积分(2) 若积分区域特征如下图 * 例 计算二重积分 其中 是由圆 围成区域. 解 取极坐标系,区域 可表成 * 故 * 极坐标下化二次积分(3) 若积分区域特征如下图 极坐标系下区域的面积 * 例题与讲解 例:计算 分析：由于积分区