第四章弹性力学基础要点分析.pptVIP

几何方程 几何方程─表示任一点的微分上形变与位移之间的关系。 o y x P A B P’ B’ A’ A’’ B’’ P点在x方向的位移分量为u； A点在x方向的位移： 线素PA的正应变为： 同理，PB的正应变为： 几何方程 o y x P A B P’ B’ A’ A’’ B’’ 同理，线素PB的转角为： 求剪应变 ，也就是线素PA与PB的之间直角的改变 由于变形是微小的，所以上式可将比单位值小得多的 略去，得： x u ? ? x v ? ? = a y u ? ? = b 因此，剪应变为： y u x v xy ? ? + ? ? = + = b a g 几何方程 所以平面问题的几何方程为： (1) 适用于区域内任何点，因为(x, y)∈ Ω； 对几何方程的说明： (2) 应用小变形假定，略去了高阶小量, 几何方程仅适用于线性小变形问题； (3) 几何方程是变形后物体连续性条件的反映和必然结果； (4) 形变和位移之间的关系：位移确定?形变完全确定： 从物理概念看，各点的位置确定，则微分线段上的形变确定。从数学推导看，位移函数确定，则其导数（形变）确定 。 几何方程 前面说过，当弹性体的位移分量完全确定时，应变分量是完全确定的。反过来，当应变分量完全确定时，位移分量却不完全确定；从物理概念看，具有确定形状的物体，可能发生不同的刚体位移；从数学推导看，应变分量确定，求位移是积分运算，出现待定函数。为了说明这一点，试令 0 = = = xy y x g e e 0 = ? ? + ? ? z v y u 0 = ? ? y v ， 0 = ? ? x u ， 则有： 积分后，得 oz x y y P u0, v0：刚体位移；ω：绕z轴的转动角度。 结论：当形变确定时，与形变有关的位移可确定；与形变无关的刚体位移尚未确定，需通过边界上的约束条件才能确定。 应力应变关系，物理方程 物理方程——表示（微分体上）应力和形变之间的物理关系，即广义虎克定律。 回顾一下材料力学中推导过程： 当沿x轴方向的两个对面受有均匀分布的正应力时，在满足先前假定的材料性质条件下，正应力不会引起角度的任何改变，而其在x方向的单位伸长则可表以方程 E x x s e = 弹性体在x方向的伸长还伴随有侧向收缩，即在y和z方向的单位缩短可表示为： E E x z x y s m e s m e - = - = ， 应力应变关系，物理方程 设图中的弹性体在各面上都受有均匀分布的正应力，则合成应变的分量可用叠加原理求得。实验证明，只须将三个应力中的每一应力所引起的应变分量叠加，就得到合成应变的分量。 单位伸长与应力之间的关系完全由两个物理常数E及μ所确定。两个常数也可用来确定剪应力与剪应变之间的关系。 应力应变关系，物理方程 如果弹性体的各面有剪应力作用，如图所示，任何两坐标轴的夹角的改变仅与平行于这两轴的剪应力分量有关，即得到： 式中G称为剪切模量，它与弹性模量E，泊松系数 μ存在如下的关系： 前面方程中的正应变与方程中的剪应变是各自独立的。因此，由三个正应力分量与三个剪应力分量引起的一般情形的应变，可用叠加法求得；即将上述六个关系式写在一起，称为本构方程或物理方程，这种空间状态的应力应变关系称为广义虎克定律。 应力应变关系，物理方程 将应变分量表为应力分量的函数，可称为本构方程的第一种形式。若将上式改写成应力分量表为应变分量的函数的形式，可得本构方程的第二种形式： 应力应变关系，物理方程 用矩阵的形式可将上式表示为： 应力应变关系，物理方程 D称为弹性矩阵，它完全决定于弹性常数E和 m 应力应变关系，物理方程 表征弹性体的弹性，也可以采用拉梅(Lame)常数G , G为弹性模量。 本构方程中的弹性矩阵D亦可表示为 应力应变关系，物理方程 本构方程的另一种形式是 显然，C=D-1，它和弹性矩阵是互逆关系. 其中C是柔度矩阵： 平面应力问题的物理方程 一般σz=0，εz并不一定等于零，但可由σx及σy求得，在分析问题时不必考虑。于是只需要考虑εx, εy和γxy三个应变分量即可，于是应变矩阵可简化为： 在平面应力问题中： 由本构方程中后两式可知，这时的剪应变： 由本构方程中的第三式可得： 平面应力问题的物理方程 转化成应力分量用应变分量表示的形式： 物理方程简化为： 平面应力问题的物理方程 将上式用矩阵方程表示： 它仍然可以简写为： 弹性矩阵D则简化为： 平面应变问题的物理方程 0 = = = zx yz z g g e 在平面应变问题中： 因为 由本构方程中后两式可得 又由本构方程中的第三式可见： 在平面应变问题中，虽然 但 一