初中几何反证法专题(编辑).docVIP

初中几何反证法专题 学习要求 了解反证法的意义，懂得什么是反证法。理解反证法的基本思路，并掌握反证法的一般证题步骤。 知识讲解 对于一个几何命题，当用直接证法比较困难时，则可采用间接证法，反证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命题结论的反面不能成立。从而推出命题的结论必然成立，它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对于提高推理论证的能力、探索新知识的能力都是非常必要的。下面我们对反证法作一个简单介绍。 反证法的概念： 不直接从题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。 反证法的基本思路： 首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假定条件下进行一系列的正确逻辑推理，直至得出一个 矛盾的结论来，并据此否定原先的假设，从而确认所要证明的结论成立。这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾，或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾，还可以是与日常生活中的事实相矛盾，甚至还可以是从两个不同角度进行推理所得出的结论之间相互矛盾（即自相矛盾）。 反证法的一般步骤： 假设命题的结论不成立； 从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾； 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确 简而言之就是“反设－归谬－结论”三步曲。 例题： 例1．已知：AB、CD是⊙O内非直径的两弦（如图1），求证AB与CD不能互相平分。 证明： 假设AB与CD互相平分于点M、则由已知条件AB、CD均非⊙O直径，可判定M不是圆心O，连结OA、OB、OM。∵OA＝OB，M是AB中点 （1）∴OM⊥AB　（等腰三角形底边上的中线垂直于底边）同理可得：OM⊥CD，从而过点M有两条直线AB、CD都垂直于OM这与已知的定理相矛盾。故AB与CD不能互相平分。例2．已知：在四边形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点，且MN＝（AD＋BC）。 求证：AD∥BC （2）证明：假设ADBC，连结ABD，并设P是BD的中点，再连结MP、PN。 在△ABD中　　　　　　　∵BM＝MA，BP＝PD　　　　　　　∴MPAD，同理可证PNBC　　　　　　　从而MP＋PN＝（AD＋BC）　①　　　　　　　这时，BD的中点不在MN上　　　　　　　若不然，则由MN∥AD，MN∥BC，得AD∥BC与假设ADBC矛盾，　　　　　　　于是M、P、N三点不共线。　　　　　　　从而MP＋PN＞MN　②　　　　　　　由①、②得（AD＋BC）＞MN，这与已知条件MN＝（AD＋BC）　　　　　　　相矛盾，　　　　　　　故假设ADBC不成立，所以AD∥BC。 课堂练习 求证：三角形中至少有一个角不大于60°。 求证：一直线的垂线与斜线必相交。已知：设m，n分别为直线l的垂线和斜线（如图），垂足为A，斜足为B。求证：m和n必相交。 在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于H，求证：AD与BE不能被点H互相平分。 求证：直线与圆最多只有两个交点。 求证：等腰三角形的底角必为锐角。已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B、∠C必为锐角。　　　　　　　　　　　　　　　 参考答案： 1．证明：假设△ABC中的∠A、∠B、∠C都大于60°　　　　　　　　 则∠A＋∠B＋∠C＞3×60°＝180°　　　　　　　　 这与三角形内角和定义矛盾，所以假设不能成立。　　　　　　　　 故三角形中至少有一个角不大于60°。　　　　2．证明：假设m和n不相交则　　　　　　　　 m∥n　　　　　　　　 ∵m⊥l ∴n⊥l　　　　　　　　 这与n是l的斜线相矛盾，所以假设不能成立。　　　　　　　　 故m和n必相交。　　　　3．证明：假设AD、BE被交点H互相平分，则ABDE是平行四边形。　　　　　　　　 ∴AE∥BD，即AC∥BC　　　　　　　　 这与AC、BC相交于C点矛盾，　　　　　　　　 故假设AD、BE被交点H平分不能成立。　　　　　　　　 所以AD与BE不能被点H互相平分。　　　　4．证明：假设一直线l与⊙O有三个不同的交点A、B、C，　　　　　　　　 M、N分别是弦AB、BC的中点。　　　　　　　　 ∵OA＝OB＝OC　　　　　　　　 ∴在等腰△OAB和△OBC中　　　　　　　　 OM⊥AB，ON⊥BC　　　　　　　　 从而过O点有两条直线都垂直于l