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第1章 质点运动学 一、教学基本要求 1． 掌握：位矢、位移、速度、加速度和角加速度，描述质点运动和运动变化的物理量，借助直角坐标系计算质量在平面内运动速度、加速度计算质点作园周运动的角速度、角加速度、切向加速度和法向加速度。 2．理解圆周运动的角速度、角加速度、切向加速度和法向加速度。 3．了解相对运动的位移关系和速度关系。 1-1 一质点在xOy平面内运动，其运动方程为x = 2 t，y = 19-2 t 2，x 和y均以m为单位，t以s为单位。试求：(1) 质点的运动轨迹；(2) t=1s时质点的速度和加速度；(3) 什么时刻质点的位矢与速度恰好垂直？此时它们的x，y分量各是多少？(4) 何时质点距原点最近？最小距离是多少？ 分析 本题属于运动学的第一类问题，已知运动方程求质点运动的速度、加速度、位置矢量。本题只需由运动方程的分量式分别求出速度、加速度的分量，再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向。 解 (1) 根据质点的运动方程x = 2 t，y = 19-2 t 2得质点的运动轨迹为 (2) 设方向的速度为，方向的速度为，则 所以质点的速度为 时速度大小为 ， 方向与轴正向夹角 设方向的加速度为，方向的加速度为，则 所以加速度为 时加速度大小为 方向为轴负方向。 (3) 由已知可得时刻位矢为 ， 当质点位矢与速度恰好垂直时，则，即 解得 当t = 0 s时， 当t = 3 s时， (4) 设时刻质点与原点距离为，则 当质点距原点最近时，即 解得 所以时质点距原点最近，为 1-2 路灯离地面高度为H，一个身高为h的人在灯下水平路面上以匀速v0步行，如图所示。求当人与灯水平距离为时，其头顶在地面上的影子移动速度的大小。 分析 要确定头顶影子的速度，必须建立确定的坐标系，写出头顶影子在此坐标系中的运动方程，根据速度的定义式即可解出头顶影子的速度。本题的关键是找到头顶在地面上的影子的位置矢量与人的位置矢量间的定量关系，然后即可用人的速度表示出头顶在地面上的影子移动速度。 解 如图1-2所示，取路灯所在处为坐标原点，人与灯水平距离为时，头顶在地面上的影子与灯水平距离为，则影子长为，设头顶在地面上的影子移动速度的大小v，则 即 故头顶在地面上的影子移动速度大小为 1-3 如图所示，湖中有一小船。岸上有人用绳跨过定滑轮拉船靠岸。设滑轮距水面高度为，滑轮到原船位置的绳长为，试求：当人以匀速拉绳，船运动的速度为多少？ 分析 本题也是要确定船的运动状态，建立确定坐标系，写出船在此坐标系中的运动方程，根据速度的定义式即可解出。需要明确的是人以匀速拉绳是绳速，即收绳的速度，是绳上各点沿绳运动的快慢，也就是绳上各点速度在绳方向上的分量。而绳上各点的速度是不同的。船速是绳端点的移动速度。 解1 取如1-3(b)图所示的直角坐标系，船的运动方程为 船的运动速度为 而收绳的速率，且因，故 解2 取如1-3(b)图所示的极坐标( r, ???，则 其中是船的径向速度，是船的横向速度，而是收绳的速率v。由此可知，收绳的速率只是船速沿绳方向的分量。由于船速与径向速度之间夹角为??，所以 1-4 一艘正在沿直线行驶的汽艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，满足，式中k是常数。，其中v 分离变量积分得 1-5 设从某一点以同样的速率，沿着同一竖直面内各个不同方向同时抛出几个物体。试证：在任意时刻，这几个物体总是散落在某个圆周上。 分析 本题实际上是证明从点以同样的速率，沿着同一竖直面内各个不同方向同时抛出几个物体，在任意时刻所在位置都在同一圆周上，与抛出的方向无关。 证明 设小球自原点O以v0的速率抛出，与轴成角，如图所示，则小球的运动学方程为 由以上两式得 所以在任意时刻，不同方向同时抛出几个物体总是散落在圆心为（0，-gt2/2），半径为v0t的圆上。 1-6 一质点在xOy平面内运动，其运动方程为r = acos?ti + bsin?tj，其中a，b，??均为大于零的常量。????试求质点在任意时刻的速度；????证明质点运动的轨道为椭圆；????证明质点的加速度恒指向椭圆中心。 分析? 解 (1) 由速度的定义得质点在任意时刻的速度为 (2) 由已知可得时刻轴、的坐标分别为 所以质点运动的轨迹方程为?????????????????? ? 即质点运动的轨道为椭圆。 ????由加速度的定义得质