4插值与拟合方法课件11.docVIP

第4章 插值与拟合方法 插值与拟合方法是用有限个函数值去推断或表示函数的方法，它在理论数学中提到的不多。 本章主要介绍有关解决这类问题的理论和方法，涉及的内容有多项式插值，分段插值及曲线拟合等。对应的方法有Lagrange插值，Newton插值，Hermite插值，分段多项式插值和线性最小二乘拟合。 4.1 实际案例 4.2 问题的描述与基本概念 先获得函数（已知或未知）在有限个点上的值 … … 由表中数据构造一个函数P x 作为f x 的近似函数，去参与有关f x 的运算。 科学计算中，解决不易求出的未知函数的问题主要采用插值和拟合两种方法。 1）插值问题的描述 已知函数在[a,b]上的n+1个互异点处的函数值，求f x 的一个近似函数P x ， （4.1） P x 称为f x 的一个插值函数; f x 称为被插函数;点为插值节点; 称为插值条件; 称为插值余项。 当插值函数P x 是多项式时称为代数插值（或多项式插值）。 一个代数插值函数P x 可写为 若它满足插值条件（4.1），则有线性方程组 （4.2） 当m n，它的系数行列式为范德蒙行列式 ，故线性方程组（4.2）有唯一解，于是有定理 当插值节点互异时，存在满足插值条件定理 满足插值条件是两个满足插值条件n次插值多项式，于是有 令 显然有是次数≤n的多项式，且 说明有n+1个零点，由代数基本定理有H x 0，由此得。 插值的一个目的是对函数作近似计算。 假设[a, b] 是包含插值点的最小闭区间，当用插值函数P x 来近似计算x在[a, b]的函数值时，称为内插计算，否则称为外插或外推计算。 2）拟合问题的描述 已知在[a,b]上的n+1个 互异或不互异 点处的函数值，求f x 的一个近似函数，，。 求出的称为拟合函数。 3）插值函数和拟合函数的几何解释 1 插值函数图示 2）拟合函数图示 4.3插值法 Lagrange插值 Lagrange插值是 n次多项式插值。 基本思想 将待求的n次多项式插值函数改写成用已知函数值为系数的n+1个待定n次多项式的线性组合型式，再利用插值条件和函数分解技术确定n+1个待定n次多项式形式求出插值多项式。 1 构造原理 已知数表 … … 设n次插值多项式 （4.3） 式中是与无关的n次多项式。 由插值条件（4.1），有 由于与无关，可得 （4.4） 为确定，注意到是n次多项式，由式（4.4）可知 式中a为待定常数，由确定，于是有 （4.5） 代入式（4.3），有 （4.6） 由n次插值多项式的唯一性，可知就是所求的n次插值多项式。 式（4.6）称为n次Lagrange插值多项式，而称为 Lagrange插值基函数。 2 分析 定理4.3. 设函数在[a,b]上有n+1阶导数，是满足插值条件的n次插值多项式，则有对任何成立 式中。 证明 因为，故有 于是Rn（x）可分解为 （4.8） 为求出k x ，做辅助函数 （4.9） 则有在时，g t 0，即g t 在[a,b]上有n+2个零点。 显然g t 在由组成的n+1个小闭区间上满足Rolle中值定理，故g t 在[a,b]上有n+1个零点。 类似的有g t 在[a,b]上有n个零点，反复运用Rolle中值定理，有在[a,b]上有1个零点，设为 ，则有。 在式（4.9）两边对t求n+1阶导数，有 将t 代入上式，解得 代入式（4.8），即得定理结果。 定理4.3中若能算出在[a,b]上的最大值，则有余项估计式 （4.10） 此式可以估计插值函数在某一点的误差，若想估计函数在插值区间[a,b]上的误差，则要计算出。在整个插值区间[a,b]上的误差估计为 （4.11） 由n次插值多项式的唯一性及式（4.7），得到有如下重要结果 定理4.4 若函数f x 在[a,b]上有n+1阶导数，则f x 可表示为 对n 1的插值多项式，称为线性插值； n 2的插值多项式称为抛物线插值或辛普森插值. 例4.1 已知的函数表为 x 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 y f x 1.098612 1.131402 1.163151 1.193922 1.223775 试用线性插值和抛物线插值分别计算的近似值，并估计相应的误差。 解 线性插值需要两个节点，内插比外推好，因为，故选，由的Lagrange 插值公式，有 所以有 为保证内插，对抛物线插值，选取三个节点为由n 2的Lagrange 插值公式，有 故有 考虑误差.当时，有，所以线性插值计算的误差估计为 而当时，，故抛物线插值计算的误差估计为 例4.2在上给出的等距节点函数表，若想用二次插值来计算的近似值，并要求截断误差不超过，问此函数