2015创新设计(高中理科数学)选修4-5-1.pptVIP

[必威体育精装版考纲] 1．理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义，能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式． 2．掌握|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法. 知 识 梳 理 1．绝对值三角不等式 (1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b| ≤ ，当且仅当 时，等号成立； (2)性质：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|； (3)定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤ ，当且仅当 时，等号成立． 2．绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a与|x|a的解法 (2)|ax＋b|≤c(c0)和|ax＋b|≥c(c0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c? ； ②|ax＋b|≥c? . (3)|x－a|＋|x－b|≥c(c0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c0)型不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 诊 断 自 测 1．不等式1＜|x＋1|＜3的解集为________． 解析　数轴上的点到－1的距离大于1且小于3的全体实数为所求解集． 答案　(－4，－2)∪(0,2) 2．设ab＞0，下面四个不等式中，正确命题的序号是_____． ①|a＋b|＞|a|；②|a＋b|＜|b|；③|a＋b|＜|a－b|；④|a＋b|＞|a|－|b|. 解析　∵ab＞0，∴a，b同号，∴|a＋b|＝|a|＋|b|，∴①和④正确． 答案　①④ 3．不等式|x－8|－|x－4|＞2的解集为________． 4．(2012·山东卷)若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________. 解析　∵|kx－2|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6. ∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2. 答案　2 5．已知关于x的不等式|x－1|＋|x|≤k无解，则实数k的取值范围是________． 解析　∵|x－1|＋|x|≥|x－1－x|＝1，∴当k＜1时，不等式|x－1|＋|x|≤k无解，故k＜1. 答案　(－∞，1) 考点一　含绝对值不等式的解法 【例1】 解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5. 解　法一　如图，设数轴上与－2,1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A、B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数．显然，区间[－2,1]不是不等式的解集．把A向左移动一个单位到点A1，此时A1A＋A1B＝1＋4＝5.把点B向右移动一个单位到点B1，此时B1A＋B1B＝5，故原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)． 规律方法 形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集． (2)几何法：利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|. (3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解． 考点二　含参数的绝对值不等式问题 【例2】 已知不等式|x＋1|－|x－3|＞a.分别求出下列情形中a的取值范围． (1)不等式有解； (2)不等式的解集为R； (3)不等式的解集为?. 解　法一　因为|x＋1|－|x－3|表示数轴上的点P(x)与两定点A(－1)，B(3)距离的差， 即|x＋1|－|x－3|＝PA－PB. 由绝对值的几何意义知， PA－PB的最大值为AB＝4， 最小值为－AB＝－4， 即－4≤|x＋1|－|x－3|≤4. (1)若不等式有解，a只要比|x＋1|－|x－3|的最大值小即可，故a＜4. (2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立， 只要a比|x＋1|－|x－3|的最小值还小，即a＜－4. (3)若不等式的解集为?，a只要不小于|x＋1|－|x－3|的最大值即可，即a≥4. 法二　由|x＋1|－|x－3|≤|x＋1－(x－3)|＝4. |x－3|－|x＋1|≤|(x－3)－(x＋1)|＝