2013考研《高等数学》精讲班.ppt

2013年考研《高等数学》精讲班课件（内部资料） 内容概览 第一讲：多元函数微分学 第二讲：复合函数求导法则 第三讲：偏导数 第四讲：全微分 第五讲：隐函数的求导法则 第六讲：多元函数极值 第七讲：二重积分的概念和 性质 第八讲：二重积分的计算法 第九讲：无 穷 级 数 第十讲：常数项级数审敛法 第十一讲：幂 级 数 第十二讲：函数展开成幂级数 第十三讲：空间直角坐标系 第十四讲：向 量 代 数 第十五讲：数量积与向量积 第十六讲：平面及其方程 第十七讲：空间曲线及其方程 第十八讲：二 次 曲 面 第十九讲：空间曲线及其方程 思考题解答 不一定. 例 它们的收敛半径都是1, 但它们的收敛域各是 练 习 题 练习题答案 第十二讲：函数展开成幂级数 由于幂级数在收敛域内确定了一个和函数，因此我们就有可能利用幂级数来表示函数。如果一个函数已经表示为幂级数，那末该函数的导数、积分等问题就迎刃而解。 一、泰勒级数 上节例题 存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数 问题: 1.如果能展开, 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数? 证明 逐项求导任意次,得 泰勒系数 泰勒系数是唯一的, 问题 泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定. 定义 在x=0点任意可导, 证明 必要性 充分性 证明 二、函数展开成幂级数 1.直接法(泰勒级数法) 步骤: 例1 解 由于M的任意性, 即得 例2 解 例3 解 两边积分 得 即 注意: 牛顿二项式展开式 双阶乘 2.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分,复合等方法,求展开式. 例如 例4 解 三、小结 1.如何求函数的泰勒级数; 2.泰勒级数收敛于函数的条件; 3.函数展开成泰勒级数的方法. 思考题 什么叫幂级数的间接展开法？ 思考题解答 从已知的展开式出发, 通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项积分等办法,求出给定函数展开式的方法称之. 练 习 题 练习题答案 第十三讲：空间直角坐标系 这一章，我们为学习多元函数微积分学作准备，介绍空间解析几何和向量代数。这是两部分相互关联的内容。用代数的方法研究空间图形就是空间解析几何，它是平面解析几何的推广。向量代数则是研究空间解析几何的有力工具。这部分内容在自然科学和工程技术领域中有着十分广泛的应用，同时也是一种很重要的数学工具。 本章先引入空间直角坐标系，把点和有序数组、 空间图形和代数方程联系起来，建立起对应关系，给数和代数方程以几何直观意义，从而可以利用代数方法研究空间图形的性质和相互关系；接着介绍向量概念，然后以向量代数为工具，重点讨论空间基本图类——平面，直线，常用的曲面和曲线。 重点 向量及其坐标表示 向量的数量积，向量积 直线与平面方程 练习题答案 1.定义: 第十一讲：幂 级 数 一、函数项级数的一般概念 2.收敛点与收敛域: 3.和函数: (定义域是?) 函数项级数的部分和 余项 注意 (x在收敛域上) 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题. 解 由达朗贝尔判别法 原级数绝对收敛. 原级数发散. 收敛; 发散; 二、幂级数及其收敛性 1.定义: 2.收敛性: 证明 由(1)结论 几何说明 发散区域 发散区域 收敛区域 这是幂级数收敛的特性 推论 定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 称为幂级数的收敛区间， 收敛域 = 收敛区间 + 收敛的端点 可能是 规定 问题 如何求幂级数的收敛半径? 证明 由比值审敛法, 定理证毕. ① 若 在 x0 处收敛 则 ② 在 x0 处发散 若 则 ③ 若 在 x0 处条件收敛 则 这是幂级数收敛的特性 注 利用该定理求收敛半径要求所有的 或只有有限个 例2 求下列幂级数的收敛区间: 解 该级数收敛 该级数发散 发散 收敛 故收敛区间为(0,1]. 如缺项， 则 必不存在， 但幂级数并不是没有收敛半径，此时不能 套用定理，可考虑直接用比值法或根值法求收敛半径 例3 已知幂级数 的收敛半径R=1 求 的收敛半径 解 任取 由 收敛知 注： 由检比法易得 收敛 故由比较审敛法知 在 故收敛半径 内绝对收敛 注意收敛半径为1，并不意味着` 三、幂级数的运算 1.代数运算性质: (1) 加减法 (其中 (2) 乘法 (其中 (3) 除法 (相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多) 2.和函数的分析运算性质: (收敛半径不变) (收敛半径不变) 解 两边积分得 例5 求和函数 解 收敛域