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运 筹 学( Operations Research ) Chapter2 线性规划与单纯形法 §2.6 应用举例 一般而言，一个经济、管理问题凡是满足以下条件时，才能建立线性规划模型。 §2.6 应用举例 1. 套裁下料问题 §2.6 应用举例 §2.6 应用举例 2. 配料问题 表 原材料供应数量的限额 上表表明这些原材料供应数量的限额。加入到产品A、B、D的原材料C总量每天不超过100kg，P的总量不超过100kg，H总量不超过60kg。由此 §2.6 应用举例 解：如以AC表示产品A中C的成分，AP表示产品A中P的成分，依次类推。 约束条件： AC+BC+DC≤100 AP+BP+DP≤100 AH+BH+DH≤60 在约束条件中共有9个变量，为计算和叙述方便，分别用x1,…,x9表示。令 x1=Ac, x2=Ap, x3=AH, x4=BC, x5=BP, x6=BH, x7=DC, x8=DP, x9=DH.  约束条件可表示为 目标函数目的是使利润最大，即产品价格减去原材料的价格为最大。 产品价格为：50(x1+x2+x3)——产品A 35(x4+x5+x6)——产品B 25(x7+x8+x9)——产品D 原材料价格为：65(x1+x4+x7)——原材料C 25(x2+x5+x8)——原材料P 35(x3+x6+x9)——原材料H 为了得到初始解，在约束条件中加入松弛变量x10～x16，得到数学模型： 可用单纯形法计算，经过四次迭代，获得最优解为： x1=100,x2=50,x3=50； 这表示需要用原料C为100kg；P为50kg;H为50kg，构成产品A。即每天只生产产品A为200kg，需要用原料C为100kg；P为50kg;H为50kg。 从最终计算表中得到，总利润是z=500元/天。 §2.6 应用举例 3. 人力资源问题 §2.6 应用举例 解：设xi表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员人数。 §2.6 应用举例 4. 生产计划问题 §2.6 应用举例 §2.6 应用举例 解：设xijk表示产品i在工序j的设备k上加工的数量，则： §2.6 应用举例 目标是利润最大化，即利润的计算公式如下： §2.6 应用举例 因此该规划问题的模型为： §2.6 应用举例 某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知： 项目A，从第1年到第4年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115%； 项目B，第3年初需要投资，到第5年末能回收本利125%，但规定最大投资额不超过4万元； 项目C，第2年初需要投资，到第5年末能回收本利140%，但规定最大投资额不超过3万元； 项目D，5年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息6%。 该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这些项目每年的投资额，使到第5年末拥有的资金的本利总额为最大? 解： (1) 确定决策变量 设xiA,xiB,xiC,xiD(i=1,2,…，5)分别表示第i年年初给项目A，B，C，D的投资额，它们都是待定的未知变量。根据给定的条件将变量列于下表中。 (2) 投资额应等于手中拥有的资金额 由于项目D每年都可以投资，并且当年末即能回收本息。所以该部门每年应把资金全部投出去，手中不应当有剩余的呆滞资金。因此 第1年：该部门年初拥有100000元，所以有 x1A+x1D=100000 第2年：因第1年给项目A的投资要到第2年末才能回收。所以该部门在第2年初拥有资金额仅为项目D在第1年回收的本息x1D(1+6%)。于是第2年的投资分配是 x2A+x2C+x2D=1.06x1D 第3年：第3年初的资金额是从项目A第1年投资及项目D第2年投资中回收的本利总和：x1A(1+15%)及x2D(1+6%)。于是第3年的资金分配为 x3A+x3B+x3D=1.15x1A+1.06x2D第4年：与以上分析相同，可得 x4A+x4D=1.15x2A+1.06x3D第5年： x5D=1.15x3A+1.06x4D此外，由于对项目B、C的投资有限额的规定，即： x3B≤40000 ， x2C≤30000 §2.6 应用举例 (3) 目标函数 问题是要求在第五年末该部门手中拥有的资金额达到最大，与五年末资金有