2.4随机变量函数的分布.pptVIP

2.4 随机变量函数的分布 一、离散型随机变量函数的分布 二、连续型随机变量函数的分布 一、离散型随机变量函数的分布 二、连续型随机变量函数的分布 小结 * * 讨论如何根据已知的随机变量X的分布,去求它的函数Y=g(X)的分布 问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数 更感兴趣. 例如，已知圆轴截面直径 d 的分布， 求截面面积 A= 的分布. 又如：已知t=t0 时刻噪声电压 V的分布， 求功率 W=V2/R (R为电阻）的分布等. 一般地、设随机变量X 的分布已知，Y=g (X) (设g是连续函数），如何由 X 的分布求出 Y 的分布？ 这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的. 求: (1) Y=3X+2的分布律 (2) Y=(X?1)2的分布律 例1 设离散型随机变量X的分布律为 0.2 0.3 0.1 0.4 P ?1 0 1 2 X 解: (1) X分别取值?1,0,1,2时 Y相应的取值互不相同: ?1,2,5,8 故 P(Y= ?1) P(Y=2)=P(X=0)=0.3 P(Y=5)=P(X=1)=0.1 P(Y=8)=P(X=2)=0.4 即Y的分布律为: 0.2 0.3 0.1 0.4 P ?1 2 5 8 Y =P(X= ?1) =0.2 (2) Y的所有取值: 0,1,4 P(Y=0)=P(X=1)=0.1 P(Y=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.3+0.4=0.7 P(Y=4)=P(X= ?1)=0.2 即 Y的分布律为: 0.1 0.7 0.2 P 0 1 4 Y 一般,设离散型随机变量X的分布 律为: P(X=xk)=pk (k=1,2,…) 令Y=g(X)是一元单值实函数,则Y 也是一个离散型随机变量: 由分布函数的定义,先求Y=g(X)的 分布函数: FY(y)=P(Y≤y)=P(g(X)≤y) 求Y=g(X)的概率密度的一般方法 (分布函数求导法): 然后求上式对y的导数,得Y的概率 密度: fY(y)=FY?(y) 例2 设X～N(0,1),试求Y=eX的概率密度 解: (1) y≤0 (2) y0 FY (y)=P(Y≤y)=P(eX≤y) ?FY (y)=P(?)=0 ?fY (y)=F?Y (y)=0 ?FY (y)=P(X≤lny) 即 本例用到变限的定积分的求导公式: 例3 设X为连续型随机变量,其概率密度为fX (x),试求X的线性函数Y=aX+b(a≠0)的概率密度 解: (1) a0 令 ,得: FY(y)=P(Y≤y)=P(aX+b≤y) (2) a0 令 ,得: 即 …(*) 对于上例: y=g(x)=ax+b 其反函数 则(*)式可写成如下形式: fY(y)=fX[h(y)]|h?(y)| 例2也可写成上述形式 注意到y=g(x)=ax+b与y=ex都是单调函数 连续型随机变量X的概率密度为 fX(x), x?(??, +?),若y=g(x)为严格单调函数,其反函数x=h(y)连续可导,Y=g(X) 的概率密度为: 定理: 其中?=min{g(??),g(+?)} ?=max{g(??),g(+?)} 其反函数为x=h(y)=lny在(0,+?)内可导 当fX(x)在有限区间[a,b]之外取值为零时,只需假设在[a,b]上g(x)严格单调,反函数在相应区间可导,则上述定理同样成立,此时 ?=min{g(a),g(b)} ?=max{g(a),g(b)} 另解例2: y=g(x)=ex 严格单调增 则 即 证明 X 的概率密度为 推论 例4 设X～N(0,1),求Y=X2的概率密度 解: y=x2在(??,+?)内不是单调函数 (1) y≤0 (2) y0 FY(y)=P(Y≤y)=P(X2≤y) ?FY (y)=P(X2≤y)=0 ?fY (y)=0 即 从上例中可以看到，在求P(Y≤y) 的过程中，关键的一步是设法从{ g(X) ≤ y }中解出X,从而得到与 {g(X) ≤ y }等价的X的不等式 . 用