等价无穷小的性质探讨及应用.docVIP

第八届大学生科技活动周 理科论文大赛论文 题 目：等价无穷小性质的探讨及应用 二级学院：物电学院 专 业：电子信息工程 班 级：08.2 姓 名：徐彭飞 学 号：20080342007 联系电话二〇一〇年四月二十五 等价无穷小性质的探讨及应用 摘要：在高等数学中，等价无穷小在求极限运算和判断级数敛散性中起着非常重要的作用，掌握并充分利用好它的性质，对解决并简化极限和级数的一些问题具有很大帮助，并能使一些复杂的问题简单化，可起到事半功倍的效果。本文通过例题，对比了不同情况下等价无穷小的应用以及在应用过程中应注意的一些性质条件，并对其性质进行延拓。 关键词：等价无穷小　极限　级数 罗比塔法则　 引言 等价无穷小是高等数学中基本知识点之一，尽管在判断广义积分、级数的敛散性，特别是在求极限的运算过程中，无穷小具有很好的性质，但是在高等数学中仅仅在“无穷小的比较”提到等价无穷小的概念，其众多灵活的性质及应用并未涉及到。因此，好多同学并没有掌握和运用等价无穷小的性质来解决极限和级数的相关问题，即使有时用也是错误百出，有时还很难判断错在什么地方。因此，有必要对等价无穷小的性质进行深刻地认识和理解，以便恰当运用，达到简化运算的目的。 一： 等价无穷小的概念及其重要性质 无穷小的定义是以极限的形式来定义的，当x→0时(或x→∞)时，limf(x)=0，则称函数f(x)当x→0时(或x→∞)时为无穷小。 　 当 ，就说β与α是等价无穷小，记作。 ??? 常见性质有： ??? 设α,α′,β,β′，γ,均为同一自变量变化过程中的无穷小， ① 若α～α′,β～β′， 且 存在，则 = ② 若α～β，β～γ，则α～γ ??? 性质①表明等价无穷小量的商的极限求法。性质②表明等价无穷小的传递性若能运用极限的运算法则，可继续拓展出下列结论： ??? ③ 若α～α′,β～β′， 且limβα=c(c≠-1)，则α+β～α′+β′ ??? ④ 若α～α′,β～β′， 且lim（Aα′±Bβ′）（Cα′±Dβ′）存在，则当（Aα′±Bβ′）（Cα′±Dβ′）≠0且 lim（Aα±Bβ）（Cα±Dβ）存在，有lim（Aα±Bβ）（Cα±Dβ）=lim(Aα′±Bβ′)lim(Cα′±Dβ′) 二： 等价无穷小的应用 在求极限中经常用到的等价无穷小有 x～sinx,x～arcsinx,x～tanx,x～arctanx, x～ln(1+x), , ?, ,, 　　例1? 解：原式= = ( sinx～x, ) 　　此题巧妙的运用等价无穷小很容易的求出该极限，当然也可用罗比塔法则做，不过求导时有点复杂，由此也显示等价无穷小的优越性。 例2?求 解：当时，，所以 此题就充分利用等价无穷小进行等价变换，变复杂为简单，轻而易举就求出了极限，但是用常规方法或罗比塔法则就相当的麻烦。 　　例3? 解法1：原式 = = ( sinx～x)=1 解法2：原式 (∵ tanx～x) ?? 两种解法的结果不同，哪一种正确呢？可以发现解法1错了，根源在于错用sinx-xcosx）～x-xcosx） (注意 ), 由性质③ sinx-xcosx并不等价于x-xcosx 。 从解法2又可以看到尽管罗比塔法则是求极限的一个有力工具，但往往需要几种方法结合起来运用，特别是恰当适时地运用等价无穷小的代换，能使运算简便，很快得出结果。 和 都是正项级数， ① 如果 (0≤l+∞) ，且级数收敛，则级数 收敛。 　　② 如果0 或= +∞，且级数 发散，则级数 发散。当l=1时， ， 就是等价无穷小。由比较审敛法的极限形式知， 与 同敛散性，只要已知， 中某一个的敛散性,就可以找到另一个的敛散性。 ??? 例4? 判定 的敛散性 解： ∵ ??? 又 收敛 ∴ 收敛 ??? 例5? 研究 的敛散性 解： ?? 而 发散 ∴ 发散 三：等价无穷小无可比拟的作用 以例3看，若直接用罗比塔法则会发现出现以下结果：原式 = 式子越变越复杂，难于求出最后的结果。而解法2适时运用性质①，将分母x2tan2x替换成x4，又将分子分解因式后进行等价替换，从而很快地求出正确结果。再看一例： ??? 例6［3］? ??? 解：原式= ? （用罗比塔法则） ??? = ? （分离非零极限乘积因子） ??? = ? （算出非零极限） ??? = ? （用罗比塔法则） ??? = ??? = ??? 计算中出现循环，此时用罗比塔法则求不出结果。 用等价无穷小代换。 ??? ∵ x～sinx～tanx(x→0) ??? ∴ 原式= =1而得解。 由此可看到罗比塔