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第九章 应力与应变分析 第一节 应力状态的概念 第二节 平面应力状态下的应力研究、应力圆 第五节 三向应力状态下的变形比能 * 第一节 应力状态的概念第二节 平面应力状态下的应力研究、应力圆第三节 三向应力状态下的最大应力第四节 广义虎克定律第五节 三向应力状态下的变形比能 一、一点的应力状态 1.一点的应力状态：通过受力构件一点处各个不同截面上的应力情况。 2.研究应力状态的目的：找出该点的最大正应力和剪应力数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分析。 二、研究应力状态的方法—单元体法 1.单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。 应力与应变分析 x O z y dz dx dy X Y Z O sy sy sz sz tzy tyz tyz tzy tyx tyx txy txy sx sx tzx txz tzx txz 应力与应变分析 （1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。 （2）面的方位用其法线方向表示 3.截取原始单元体的方法、原则 ①用三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状 而定)在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体 ②单元体各个面上的应力已知或可求； ③几种受力情况下截取单元体方法： 2.单元体上的应力分量 应力与应变分析 P Me Me P P Me Me c) 同b)，但从 上表面截取 C t s s b) 横截面，周向面，直径面各一对 B a) 一对横截面，两对纵截面 A s=P/A s t=Me/Wn A B C B C A P C A B tB tC sC sC sA sA 三、应力状态分类(按主应力) 1. ①主平面：单元体上剪应力为零的面； ②主单元体：各面均为主平面的单元体，单元体上有三对主平面； ③主应力：主平面上的正应力，用s1、s2、s3表示， 有s1≥s2≥s3。 应力与应变分析 旋转 y x z s2 s3 s1 x y z sx sz txy txz tzx tzy tyz tyx sy 2.应力状态按主应力分类： ①只有一个主应力不为零称单向应力状态； ②只有一个主应力为零称两向应力状态(平面应力状态)； ③三个主应力均不为零称三向应力状态(空间应力状态)； ④单向应力状态又称简单应力状态，平面和空间应力状态又称复杂应力状态。 应力与应变分析 一、平面应力分析的解析法 1.平面应力状态图示： sy tyx txy sx sx sx txy sy sy sx tyx 应力与应变分析 2.任意a角斜截面上的应力 sx txy sy sy sx tyx A B x y a n t a sα tα sx txy tyx sy x dA sx sy txy tyx 得 应力与应变分析 符号规定： a角—以x轴正向为起线，逆时针旋转为正，反之为负 s—拉为正，压为负 t—使微元产生顺时针转动趋势者为正，反之为负 3.主应力及其方位： ①由主平面定义，令tα =0，得： 可求出两个相差90o的a0值，对应两个互相垂直主平面。 ②令 得： 即主平面上的正应力取得所有方向上的极值。 应力与应变分析 ③主应力大小： ④由s、s、0按代数值大小排序得出：s1≥s2≥s3 ⑤判断s、s作用方位(与两个a0如何对应) txy箭头指向第几象限(一、四)，则s(较大主应力)在第几象限，即先判断s大致方位，再判断其与算得的a0相对应，还是与a0+90o相对应。 ⑥ txy s s a0* txy s s a0* 应力与应变分析 4.极值切应力： ①令： ，可求出两个相差90o 的 a1，代表两个相互垂直的极值切应力方位。 ②极值切应力： ③ (极值切应力平面与主平面成45o) 应力与应变分析 40 30 20 单位：MPa a sa ta 40 20 30 14.9o s s s s 例一 图示单元体，试求：①a=30o斜截面上的应力； ②主应力并画出主单元体；③极值切应力。 t ABCD x 45o -45o Me Me D C B A s3 s1 s1 s3 分析圆轴扭转时的应力状态 4)圆轴扭转时，横截面为纯剪切应 力状态，最大拉、压应力在与轴 线成±45o斜截面上，它们数值相 等，均等于横截面上的剪应力； 5)对于塑性材料(如低碳钢)抗剪能力差，扭转破坏时， 通常是横截面上的最大