2008-2011年高考及北京市模拟试卷创新题小题汇编详解.docVIP

2008-2011年高考及北京市模拟试卷创新题小题汇编详解 （10-11年上学期北师大实验高三摸底考试理14） 设是对一切正整数有定义的函数，且，（，是的素约数的个数）．令（其中表示是的约数，上式表示对的一切约数的函数求和），则 ； ． ．； ∵是素数，∴．的表达式．，其中为的全部素因子，． 设是的约数，根据的定义，当时，，且正好可以视作的情形．而，求和是对的全体约数求和．由于的取值只可能是，所以只需计算出，取值的约数的个数即可．这等价于求的只有个素因子的约数的个数． 时，显然只有，个数为；时，，其中，只能取，个数是； 一般地对于为任意的情形，当的素因子取时，， 由于能取到，由乘法原理，这种情况下的的个数是；由于的素因子可以取任意个，所以总的只有个素因子的约数的个数是； 由此可知，； 考虑多项式．由韦达定理可知： 在上式中两边赋值即得 ∴当时，； ∵，∴； ∵，∴． （10-11年上学期海淀高三期末统考理8） 如图所示，在正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且面，则与平面所成角的正切值构成的集合是（ ） A． B． C． D． C．外一点能作无穷多条直线平行于平面，这无穷多条直线构成一个过点且与平行的平面； 由此可知：过且平行于平面的直线有无穷多条，这些直线构成一个平面．交于，作交的延长线于，那么；于是既在面上又在侧面上，的轨迹为两者的交线； 为作出交线，如图所示：延长交的延长线于，连接交的延长线于，则即为平面与平面的交线；延长交于，则为的轨迹（限定在正方体的侧面上而不是整个侧面平面上）； 设正方体棱长为，易知是中点，，，．上一点，由于是在平面上的射影，所以与平面所成角，其正切为；，，∴；选C； （10-11年上学期海淀高三期末统考理14） 在平面直角坐标系中，为坐标原点．定义、两点之间的“直角距离”为．若点，则= ；已知点，点是直线上的动点，的最小值为 ． ；．，则直线是过定点且斜率为正的直线．设直线与轴交于点，与交于点，则构成直角三角形．如右图所示． 先考虑的情形：此时若介于间例如点，我们有：，也就是处在间时在点取最小值；若在延长线上例如点：，所以此时在点取最小值；若在延长线上例如点：，所以此时在点取最小值；又由于时，所以综合知； 类似地可以知道：若，则分别在延长线上、间、延长线上时，分别在点，点，点取最小值，又此时，故； 若则，在间任意一点都取到最小值． 这题用数形结合，采用直角距离的几何意义加分类讨论不难解决，如用函数定义来做也是可以的，但是显然不如几何意义来得直观有效． （10-11年上学期海淀高三期末统考文14） 在平面直角坐标系中，为坐标原点．定义、两点之间的“直角距离”为．若点，则= ；已知，点为直线上动点，则的最小值为 ． ；．最小值为．． （10-11年上学期西城高三期末统考理14） 在平面直角坐标系中，定义为两点，之间的“折线距离”．则坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值是 ；圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是 ． ，．与轴、轴分别交于点、：则，；当点在的延长线上时，；当点在的延长线上时，；当点在之间时，，，当点与点重合时取到等号．在单位圆上固定一点时，对于直线上任一点，当且仅当轴时取最小； 为了求水平距离的最小值，如图所示，过作轴的平行线交直线于，过作直线的垂线垂足为；则为定值，为直线的倾角的正弦： ∴；求水平距离的最小值即为求的最小值； 过点作直线的垂线，交单位圆于，垂足为，则当且仅当与重合时，取到最小值；此时过作轴的平行线交直线于，则也取到最小值； ∵，，∴，， ∴，当分别与重合时取到等号．（10-11年上学期西城高三期末统考文14） 在平面直角坐标系中，定义为两点，之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题： ①到原点的“折线距离”等于的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于的点的集合是一个圆； ③到两点的“折线距离”之和为的点的集合是面积为的六边形； ④到两点的“折线距离”差的绝对值为的点的集合是两条平行线． 其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号） ． ①设点的坐标为，根据定义有，这是条线段围成的正方形，如上图所示．②自然错误．更一般地，易见到点的“折线距离”等于为中心半对角线长为的斜正方形，这是欧氏距离下圆的近似； ③设点的坐标为，根据定义有，整理得，画出其图像是上图所示的六边形，面积为．更一般地不难证明：若纵坐标相同，，则到两点的“折线距离”的点的集合也是类似的对称六边形，以为对称轴，以中点为对称中心，长为，高为