验证数值积分求积公式及复合梯形公式程序设计.docVIP

《复合梯形公式》实验报告 实验名称：??? 成绩：___________ 专业班级：? 姓名：???学号：实?验?日?期 ：??年月2日 实验报告日期：?年?月日 二、实验内容Matlab提供了quad函数和quadl函数来求定积分.它们的调用格式为： Quad(filename,a,b,tol,trace) Quadl(filename,a,b,tol,trace) 其中filename是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。Tol用来控制积分精度，默认时取。Trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，默认时取trace=0。 例6.20 用两种不同的方法求. (2)被积函数由一个表格定义 在matlab中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用trapz(X,Y)函数。其中向量X、Y定义函数关系Y=f(X).X、Y是两个等长的向量；，，并且，积分区间是。 例6.21用trapz函数计算. (3)二重积分数值求解 Matlab提供的dblquad函数可以直接求出二重定积分的数值解。该函数的调用格式为：I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace) 该函数求f(x,y)在[a,b]*[c,d]区域上的二重定积分。 例6.22 计算二重定积分 2.复合梯形公式 由于牛顿-柯特斯公式在时不具有稳定性，故不可能通过提高阶的方法来提高求积精度.为了提高精度通常可把积分区间分成若干子区间(通常是等分)，再在每个子区间上用低阶求积公式，这种方法称为复合求积法. 将区间划分为n等份，分点，，在每个子区间上采用梯形公式，则得. 记，称为复合梯形公式，其余项可由得.由于，所以，使.于是复合梯形公式的余项为.. 即，所以复合梯形公式收敛. 以以原函数为例，进行matlab程序设计. 三、实验 四、function ex=ex(x) ex=exp(-x.^2); end 然后在matlab命令窗口，输入命令： format long I=quad(ex,0,1) (2)被积函数由一个表格定义 例6.21 在matlab命令窗口，输入命令： X=0:0.01:1; Y=exp(-X.^2); trapz(X,Y) (3)二重积分数值求解 例6.22 (1)建立一个函数文件fxy.m function f=fxy(x,y) global ki; ki=ki+1; %ki用于统计被积函数的调用次数 f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y); end (2)调用dblquad函数求解 global ki;ki=0; I=dblquad(fxy,-2,2,-1,1) (二)复合梯形公式算法流程图 (三)程序设计 以原函数为例，a,b分别为积分区间的上限和下限，n为将积分区间划分的份数. 1．编写原函数M文件f.m function y=f(x) y=sin(x)/x; 2.编写求复合梯形公式M文件FT.m function Tn=FT(a,b,n) a=input(请输入a的值：); b=input(请输入b的值:); n=input(请输入n的值:); h=(b-a)/n; for k=0:n x(k+1)=a+k*h; if x(k+1)==0 x(k+1)=10^(-10); end end T1=h/2*(f(x(1))+f(x(n+1))); for i=2:n F(i)=h*f(x(i)); end T2=sum(F); Tn=T1+T2; 3.运行程序 4.用quad求解与复合梯形公式求解结果做对比 I=quad(sin(x)./x,0,1) 五、实验结果 (一) 验证数值积分公式 (1) 被积函数是一个解析式 I =0.746824180726425 (2) 被积函数由一个表格定义 ans =0.7468 (3) 二重积分数值求解 I =1.5745 (二)复合梯形公式程序运行结果： FT 请输入a的值：0 请输入b的值：1 请输入n的值：8 ans =0.9457 FT 请输入a的值：0 请输入b的值：1 请输入n的值：3 ans =0.9433 调用quad命令运行结果 I =0.9461 六、实验讨论、结论 1.对于函数，将积分区间[0,1]划分为8等份，应用复合梯形公式matlab程序求得积分的近似值.调用quad命令求得I=0.9461，余项为0.0004.当将积分区间划分为3等份时，，余项为0.0028，由此可知，将区间划分的份数越多，结果越准确. 2.通过实验进一步学习了积分的数值计算方法，设法构造某个简单函数近似表示，然后得到近似值。公式不但具有最高代数精度，而且收敛性和稳定性都有保证，因此是高精度的求积公式。