23个基础的圆锥曲线专题(修正版)6.docVIP

23个基础的圆锥曲线专题（修正版）--tobeenough [例1]设椭圆，其焦点在轴上，若其焦准距(焦点到准线的距离)，求椭圆的方程. [解析] 由椭圆的标准方程得：，即： 则：，即：，故： ① 由准线方程准焦距，方方除以知： 焦准距： 由已知得： 即：，即：， 则： 即：，故：或 结合①式得：，故椭圆方程为： [例2]设椭圆()的离心率，其通径(过焦点且垂直于长轴的焦直径)，为两焦点，是上除长轴端点外的任一点，的角平分线交长轴于，求的取值范围. [解析] A 先求椭圆方程 由通径等于知：，即焦准距. 由准线方程准焦距，方方除以知：焦准距，即： ① 已知离心率，即：，即： ② 对于椭圆，有： ③ 将①②代入③得：（） 即： ④ 于是：， 故椭圆方程为： ⑤ B 再求角平分线方程 设点坐标为，则点的切线方程由等效代替得： ，即： 故切线斜率为： ⑥ 由切线平分焦周角，称为弦切角定理知：过点的切线的垂直线就是角平分线 故的斜率为： 将⑥式代入上式得： 于是的直线方程为： ⑦ 当时，，就是点的坐标 故由⑦式： 即：，即： ⑧ 由于，即，故： 所以，的取值范围是. [例3]设椭圆()的离心率，为两焦点，椭圆与轴的交点为，求三角形的面积 [解析] A 先求椭圆方程 由椭圆与轴的交点为得： 由离心率得： 即：，即： 故椭圆方程为： ① B 求 由①式可得：，即： 则 另外，由焦三角形计面积，半角正切连乘得： [例4]如图，设椭圆()，为长轴顶点，过左焦点、斜率为的直线交椭圆于两点，若，求 [解析]本题直线过椭圆的左焦点，故采用以左焦点为极点的极坐标可使问题简化. 建立极坐标 本极坐标的椭圆方程为： ① 直线的斜率，故其倾角为： ② 联立①②可得两点的坐标. B 求两点的坐标 对于点，，代入①式得： ③ 对于点，，代入①式得： ④ C 求两点得坐标 对于点，，代入①式得： ⑤ 对于点，，代入①式得： ⑥ D 求参数 将③④代入得： 即：，即：，故： ⑦ E 求面积比 ⑧ 将③④⑤⑥代入⑧得： ⑨ 将⑦代入⑨式得： 故，本题答案为：. [例5]设椭圆()，其离心率，其通径. ① 求椭圆的方程. ② 若两条焦直径(过焦点的弦)与互相垂直.求 [解析] ① 求椭圆的方程. 由通径等于 得： 则焦准距： ① 由准线方程准焦距，方、方除以得：焦准距 即： ② 由离心率得： ③ 将②③代入得：（） 即： ④ 将④分别代入③②得：， 故椭圆的方程为： ⑤ ② 若两条焦直径(过焦点的弦)与互相垂直.求 （如图甲）由于和都是焦弦，过焦点，所以采用极坐标. 准线方程准焦距，方方除以知： 焦准距： 离心率： A 则以为极点的椭圆方程为： 故： 则： ⑥ B 则以为极点的椭圆方程为： 故： 则： ⑦ C 由于与互相垂直，故： 即： ⑧ 于是由⑥⑦⑧得： 故：本题答案是 注：过与过其长度相同. [例6]设椭圆，左焦点为，在椭圆上任取三个不同点，使得，求： [解析]由于左焦点为是本题已知条件和求解的关键点，所以以点为极点的极坐标是本题. A 采用极坐标，则椭圆方程为： 则： ① 设的极角为，则的极角为， 的极角为. B 由于： 即： ② C 于是由①得： , 上面三式相加得： 将②代入上式得： ③ D 由椭圆标准方程得：，，即：， 由准线方程准焦距，方、方除以得：焦准距 离心率：,故： 代入③式得：. [例7]如图所示，椭圆，过原点的两条直线交圆于，与的延长线相交于，与的延长线相交于，求所在的直线方程. [解析] 因为与相交于原点，所以将原点坐标代入椭圆的方程得： 上式中：“”表示在椭圆内； “=”表示在椭圆上； “”表示在椭圆外. 于是，原点在椭圆内. 根据椭圆的极限定理，直线就是原点关于椭圆的极线. 于是，极线的方程为： 将，代入上式得： 即：. 这就是的直线方程. [例8]设椭圆()，过右焦点的直线交于两点，为中点. ⑴若的斜率，求椭圆的方程； ⑵若直线交于两点，与相交于，求点的坐标. [解析] ⑴若的斜率，求椭圆的方程. 由得直线方程得其斜率： ① 由准线方程准焦距，方、方除以得： 准线方程 ② 焦准距 ③ 由弦与中线斜率积，准线去除准焦距得： ④ 将①②③及代入④式得：，即： ⑤ 由直线方程过右焦点得：点在直线上. 即：，即：，于是： ⑥ 由⑤⑥得：，即：，代入⑤得： 故椭圆的方程为：. ⑵若直线交于两点，与相交于，求点的坐标. 由于与相交于，所以当作为椭圆的极点时，那么其极线必然都经过点. 对于，当， 故点的坐标为. 那么，直线就是点的极线. 设点的坐标为，其中 则其极线方程为：，即：，即： 则：，故点的坐标为. [例9]设椭圆的长轴端点为，与轴平行的直线交椭圆于两点，