21.2直角坐标下二重积分的计算.docVIP

§2 直角坐标下二重积分的计算 教学目的 掌握直角坐标下二重积分的计算公式． 教学内容 二重积分化为累次积分；累次积分的积分次序的交换． (1) 基本要求：掌握二重积分化为累次积分的方法和累次积分的积分次序的交换公式． (2) 较高要求：掌握二重积分化为累次积分公式的证明． 教学建议 要求学生必须熟练掌握直角坐标下二重积分的计算公式． (2) 对较好学生要求掌握二重积分化为累次积分公式的证明． 教学程序 定理21.8 设在矩形区域D：上可积，且对每个 ，积分存在，则累次积分 也存在，且 = . (1) 证明 令＝，定理要求证明在上可积，且积分结果恰为二重积分．为此，对区间与分别作分割， ,. 按这些分点作两组直线 及 它把矩形分为个小矩形，记为小矩形 ；设在上的上确界和下确界分别为和．在区间中任取一点，于是就有不等式 ， 其中．因此 ， ， (2) 其中．记的对角线长度为和,由于二重积分存在．由定理21.4，当时，和有相同的极限，且极限值等于．因此当时由不等式（２）可得： = ， (3) 由于当时，必有，因此由定积分定义，（３）式左边 ==. 定理21.9 设在矩形区域D：上可积，且对每个 ，积分存在，则累次积分也存在，且 =. 定理21 9的证明与定理21．8相仿． 特别当在矩形区域D：上连续时，则有 ==. 计算其中. 解 ===. 一般区域 型区域：， 型区域：， 一般区域 ：分割为若干个无公共内点的型区域或型区域的并． 定理21.10 若函数在型区域： 上连续其中，，在上连续，则 =. 即二重积分可化为先对，后对的累次积分． 证明` 由于，，在闭区间上连续，故总存在形区域，定义在上的函数 =， 则在上可积，而且， == ==. 类似地有：若函数在型区域型区域：上连续其中，，在上连续，即二重积分可化为先对，后对的累次积分．则=. 例2 设是由直线及围成的区域，试计算二重积分 =的值 解 ：若化为先对，后对的累次积分，则 ==，由于被积函数的原函数不能用初等函数表示，故改为化作先对，后对的累次积分 === =. 例3 计算二重积分，其中是由直线及围成的三角形区域 解：+ =+ =+ =. 例4 求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积 解 设这两个直交圆柱面的方程为：，，由图形的对称性 =8=8=8=. 作业 P223: 1;2;3;4. 《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 1