材料力学第2章4分析.ppt

静定与超静定的辩证关系——多余约束的两种作用： 增加了未知力个数，同时增加对变形的限制与约束， 前者使问题变为不可解，后者使问题变为可解。 ?求解超静定问题的基本方法 求解超静定问题的基本方法——平衡、变形协调、 物理关系。现在的物理关系体现为力与变形关系。 拉伸与压缩/拉压超静定问题 FP ? l3 ? l2 ? l1 变形协调方程： 各杆变形的几何关系 E3A3 l3 E2A2 l2=E1A1 l1 E1A1 l1 A B C D A′ 物理关系 拉伸与压缩/拉压超静定问题 将物理关系代入变形协调条件得到补充方程为： 由平衡方程、补充方程 联立求解： (拉) (拉) 拉伸与压缩/拉压超静定问题 ?讨论： （1）在超静定问题中，内力 与杆件的刚度EA有关， 若本身刚度越大，则内力也越大，反映出能者多劳； 而静定问题，内力仅与几何形状 有关。 （2）在超静定问题中，内力与其他杆件的刚度有关。 当几何形状确定时，在设计中不能使所有部分的实际 应力同时接近许用应力的数值（即某些杆件的强度不 能充分利用）。 拉伸与压缩/拉压超静定问题 例题 试判断下图结构是静定的还是超静定的？若是超静定，则为几次超静定？ F ? ? D B A C E F ? D B A C (a)静定。未知内力数：3 平衡方程数：3 (b)超静定。未知力数：5 平衡方程数：3 超静定次数=2 拉伸与压缩/拉压超静定问题 F (c)超静定。未知内力数：3 平衡方程数：2 超静定次数=1 拉伸与压缩/拉压超静定问题 例题 设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：L1=L2=L、 L3；各杆面积为A1=A2=A、 A3 ；各杆弹性模量为：E1=E2=E、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。 C F A B D 1 2 3 解：?、平衡方程: F A FN1 FN3 FN2 ?几何方程——变形协调方程： ?物理方程——弹性定律： ?补充方程：由几何方程和物理方程得。 ?解由平衡方程和补充方程组成的方程组，得: C A B D 1 2 3 A1 ?平衡方程；?几何方程——变形协调方程；?物理方程——弹性定律；?补充方程：由几何方程和物理方程得；?解由平衡方程和补充方程组成的方程组。 求解超静定问题的方法步骤： 思考题 图示桁架，三杆AD、BD和CD具有相同的抗拉 刚度EA,试求在铅垂载荷F作用下各杆轴力？ F ? ? D F ? ? D B A C 1 2 3 H H 拉伸与压缩/拉压超静定问题 例题 木制短柱的四角用四个40?40?4的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为[?]1=160M Pa和[?]2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa 和 E2 =10GPa；求许可载荷F。 ?几何方程 ?物理方程及补充方程： 解：?平衡方程: F F y 4FN1 FN2 F F y 4FN1 FN2 ? 解平衡方程和补充方程，得: ?求结构的许可载荷： 方法1: 角钢面积由型钢表查得: A1=3.086cm2 所以在△1=△2 的前提下，角钢将先达到极限状态， 即角钢决定最大载荷。 ?求结构的许可载荷： 方法2: ?、几何方程 解：?、平衡方程: 2、超静定问题存在装配应力。 装配应力——预应力 1、静定问题无装配应力。 如图，3号杆的尺寸误差为?，求各杆的装配内力。 A B C 1 2 A B C 1 2 D A1 3 ?、物理方程及补充方程： ? 、解平衡方程和补充方程，得: d A1 FN1 FN2 FN3 A A1 1、静定问题无温度应力。 温度应力问题 如图，1、2号杆的尺寸及材料都相同，当结构温度由T1变到T2时,求各杆的温度内力。（各杆的线膨胀系数分别为?i ; △T= T2 -T1) A B C 1 2 C A B D 1 2 3 A1 2、超静定问题存在温度应力。 C A B D 1 2 3 A1 ?、几何方程 解：?、平衡方程: ?、物理方程： F A FN1 FN3 FN2 C A B D 1 2 3 A1 ?、补充方程 解平衡方程和补充方程，得: a a a a FN1 FN2 例 如图，阶梯钢杆的上下两端在T1=5℃ 时被固定,杆的上下两段的面积分别 ??=?cm2 ， ??=??cm2，当温度升至T2 =25℃时,求各杆的温度应力。 (线膨胀系数? =12.5× ； 弹性模量E=200GPa) ?、几何方程： 解：?、平衡方程： ?、物理方程 解平衡方程和补充方程，得: ?、补充方程 ?、温度应力 内力：受力构件内