基本方程组的数值求解1.pptVIP

基本方程组的数值求解 一、引言 控制层流和湍流燃烧的微分方程组的几个特点： 方程很复杂，无法得到分析解，需要数值求解。 各个方程的结构相似，都包含时间导数项、对流项、扩散项和源项几部分。因此，各个方程可以用相同的方法求解。其中动量方程可写成 (1) 方程是非线性的，比如对流项有三个应变量，是三次项。非线性方程需要用迭代方法求解。 各方程之间是互相耦合的。求解时，需对所有方程进行联立求解。 二、积分区域与微分方程的离散化 1．积分区域的离散化 积分区域的离散化，把参数连续变化的流场用有限个点来代替 交线的交点称为网格的结点 两相邻结点之间的距离称为网格步长 时间坐标上定出有限个离散点，相邻两离散点间的距离为时间步长 2．微分方程的离散化 利用连续方程，一维非定常流动的方程写为 （2） 在控制容积上积分，并利用奥-高定律，得 上标n表示当前时间层的值；上标（n-1）表示前一时间层的值 对流项和扩散项的参数暂时未注明取哪一个时间层的值 式中扩散通量一般用中心差分： , （4） 但在对流项中，e点和w点的值可以用不同的插值方法得出。 图2 控制容积 控制容积在x方向为等距网格，长度为 ，其它两个方向上取单位长度 控制容积在与x方向垂直的面元面积 =1 控制体的体积 三、交错网格 在用控制容积法建立差分方程时，需用插值办法计算差分方程的系数 Harlow等人提出用交错网格，以减少因插值而引进的误差 在这种网格中，速度定义在两结点之间的中点上，其余参数仍定义在网格线的交点上 实线的交点定义了除速度分量以外的所有参数，称为主结点 实线与虚线的交点定义了不同的速度分量，称为速度的结点 计算标量的对流通量时，速度就定义在控制体的面之上，毋须插值 图3 交错网格 在建立动量方程（比如说u）的差分方程时，交错网格的优点更为突出 在非交错网格中，P点压力梯度的差商近似为 在交错网格中，w点压力梯度的差商近似为 用交错网格的精度比非交错网格要高得多 四、差分格式 1．差分方程的要求 在计算数学中，为评价差分格式，提出了相容性、稳定性、耗散性、色散性等原则，并发展了一系列的分析方法 为了容易理解，这里从物理的真实性、收敛性及解的精度几方面进行讨论 差分方程可以写为 (5) 式中，取和号下的指数nb表示P点周围的结点。对一维问题，是两项相加，二维问题是四项相加，余此类推。 1）物理上的真实性 ①差分方程的系数要同号：在差分方程（5）中，Bnb和BP要同号 ②在控制面上，通量要保持一致：在计算两个控制体的通量时，要保证在同一面元上有相同的表示式，不然的话，在这个面元上就得引进一个小的源或汇，以便保证参数总的守恒。 2）迭代求解的收敛性 对于非线性方程组的求解，目前还没有成熟的理论，可借用线性代数方程组的原则对差分方程进行一些限制。斯卡巴勒（Scarborough）指出： ①所有结点的差分方程，其系数之和需满足 （6） ②至少有一个结点，系数之和满足 （7） 对于非线性代数方程，上述条件是充分的，但不一定是必要的 3）解的精确性 要使最后求得的结点与实验符合，除了合理安排差分网格外，恰当地选择差分格式也是重要的因素之一。 2．对流项和扩散项的差分 很多差分格式的系数都与参数 、 的比值—佩克莱特（Peclet）数 有关 数表示了对流与扩散作用的相对大小 当 数的绝对值很大时，导热或扩散的作用就可以忽略。这时，对流的作用就把流动上游的信息一直带到下游，而通过扩散向上游传递的下游的信息则几乎等于零 如果输运系数为粘性系数，则数即为以网格步长为特征长度的雷诺数 参数D恒为正值，参数C的正负号与速度相同。 定常一维的流动和扩散过程，其控制方程为 （8） 在图2所示的控制容积上积分得 （9） 另一方面