第2章：单自由度振动1资料.pptVIP

令角位移等于1,各弹簧会产生如图所示的弹性力,由平衡条件得 A 2.列幅值方程 A 例题：图示一质量均匀分布、长度为 、弹性系数为 的弹簧带有质量为 的质点，弹簧材料的线密度为 ，试求该系统自由振动的基频，并计算弹簧的等效质量。 整个系统的总动能为 为弹簧的总质量 解： 假定弹簧的变形与离固定点的距离成正比 设弹簧端点处的位移为 则振动时 点处的位移为 得到弹簧的总动能为 弹簧的势能与弹簧的质量无关，仍为 导出考虑弹簧质量的系统固有频率为 1 θ 例、求图示结构的自振圆频率。 解法1：求刚度 k l h m I→∞ EI B A C 1 h 解法2：求柔度 对于静定结构一般计算柔度系数方便。如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点都不能发生转动（如横梁刚度为∞刚架)计算刚度系数方便. §2.3有阻尼系统的自由振动 一.阻尼与阻尼力 阻尼:使振动衰减的作用. 产生阻尼的原因：结构与支承之间的外摩擦；材料之间的内摩擦；周围介质的阻力. c-----阻尼系数 粘滞阻尼理论假定阻尼力的大小与速度成正比，方向与速度相反。 各项除以 ，写成标准形式 其中 其中 为无阻尼系统的固有频率 二.计阻尼自由振动 1.运动方程及其解 振幅衰减系数 令 称为阻尼比 动力学方程可写为标准形式 代入动力学方程，导出本征方程为 (1) 欠阻尼状态 方程的通解为 阻尼振动的固有频率 其中， 和 为待定常数 ，由初始条件确定 或 其中 则有 阻尼振动的周期 其中， 为无阻尼振动的周期，显然有 由于阻尼作用引起的能量消耗，系统转变为振幅不断递减的衰减振动。系统响应的位移时程曲线见右图 相邻两个振幅的比值为常数，称作缩减系数，记为 t y 低阻尼y- t曲线 实际计算时常利用对数减缩代替减缩系数或阻尼比 过若干个周期后的振幅减缩系数为 测得若干周期后的振幅,然后用上式可求得系数,并进而求得阻尼比和阻尼系数 EI=∞ m 例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处共计为m，加一水平力P=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm，然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s 及一个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比ξ和阻尼系数c。 9.8kN 解： = w x k 2 = w x m c 2 = w w x m 2 2 例: 对图示体系作自由振动试验.用钢丝绳将上端拉离平衡位置2cm,用力16.4kN,将绳突然切断,开始作自由振动.经4周期,用时2秒,振幅降为1cm. 2cm 求:阻尼比,刚度系数,无阻尼周期,重量,阻尼系数,若质量增加800kg体系的周期和阻尼比为多少 3.无阻尼周期 4.重量 5.阻尼系数 6.若质量增加800kg,体系的周期和阻尼比为多少 2.刚度系数 解: 1.阻尼比 (2) 为过阻尼状态 由此可见,此时系统的运动规律为: (3) 为过临界状态 由此可见,此时系统的响应仍然为: 其响应的曲线与过临界时类似. 此时的阻尼系数称作临界阻尼系数. 由于 及 故 除粘性阻尼外，系统还存在其它类型的阻尼，工程中常将这类非粘性阻尼简化为等效粘性阻尼，使前面对粘性阻尼的分析结果有更广的适用范围。等效的原则是令非粘性阻尼在一个周期内耗散的能量与等效粘性阻尼在同一个周期内耗散的能量相等. 三.等效粘性阻尼 系统在作简谐振动时，粘性阻尼在一个周期内耗散的能量可以近似地利用无阻尼振动规律。 讨论以下几种非粘性阻尼： （1）干摩擦阻尼 干摩擦阻尼遵循库伦定律 干摩擦系数 （2）平方阻尼 在低粘度流体中以较大速度运动的物体，阻力接近于与速度的平方成正比，与运动方向相反 （3）结构阻尼 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES Dynamics of Structures Prof. Lanhe Wu Shijiazhuang Tiedao Univ. 第二章 单自由度体系的振动 本章重点： 建立结构振动微分方程的几种方法 无阻尼单自由度系统自由振动特性及规律 有阻尼单自由度系统自由振动特性及规律 等效刚度和等效质量的概念 单自由度系统受迫振动的特性 本章难点： 建立结构振动微分方程的几种方法 求解固有频率的能量法 结构动位移和动内力的计算 §2.1运动方程的建立 一、利用D’Alembert原理 1.刚度法 m 运动方程 惯性力 m 形式上的平衡方程 刚度系数 y(t) m F(t) 1 取质体为研究对象，实质是质体的动平衡方程 刚度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求系统发生位移y时的恢复力； 3.令惯性力、恢复力和体系外力之和为零。 2.柔度法 m