概率论与数理统计复习精要.pptVIP

第一章 随机事件及其概率 第二章 随机变量及其分布 随机变量函数的分布 第三章 多维随机变量及其分布 第四章 随机变量的数字特征 第五章 极限定理初步 ?二维连续型随机变量 设二维随机变量 (X,Y)的分布函数为F(x,y)，如果存在非负函数f(x,y)使得对任意的实数x, y,都有 则称 (X,Y)为连续型随机变量，其中f(x,y) 称为 (X,Y)的联合概率密度函数，简称联合概率密度或联合分布密度。 ?联合概率密度的性质 ?常见的二维连续型随机变量的分布 均匀分布 设G为平面上的有界区域，若二维随机变量(X,Y)的分布密度函数为 其中 为区域G的面积，则称二维随机变量(X,Y)在G上服从均匀分布。 ?边缘分布 ?二维连续型随机变量的边缘分布 设(X,Y)为连续型随机变量，其联合分布函数和联合概率密度分别为F(x,y)和 f(x,y),则 分别称为(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度函数，简称边缘概率密度。 如果二维随机变量(X,Y)满足, 则称X与Y相互独立 . 连续型 ?随机变量的独立性 对任意x,y, 有 离散型 ?二维随机变量函数的分布 设X是离散型随机变量，它的分布律是: 如果级数 绝对收敛,则称 离散型随机变量的数学期望 为X的数学期望. 设X是连续型随机变量，其密度函数为 f (x),如果 绝对收敛,则定义X的数学期望为 连续型随机变量的数学期望 设Y是随机变量X的连续函数，Y=g(X)，则 当X为离散型时，P(X= xk)=pk ; 当X为连续型时，X的密度函数为f (x). 随机变量函数的数学期望 设(X,Y)是二维随机变量，Z=g(X,Y)，则 二维随机变量函数的数学期望 数学期望的性质 1. E(aX+b)=aE(X)+b; 2. E(X+Y) = E(X)+E(Y); 3. 设X、Y相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y); E(aX)=aE(X) E(b)=b D(X) = 标准差 方差 D(X)=E(X2)-[E(X)]2 方差的性质 1. D(aX+b)=a2D(X) ; 2. 若X、Y相互独立,D(X+Y) = D(X)+D(Y); 一般地， D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} 3. 切比雪夫不等式 设随机变量X有数学期望μ和方差σ2，则对于任给ε0,有 * 1.交换律 2.结合律 3.分配律 4.对偶原则 ?事件的运算法则 统计概率 古典概率 几何概率 ?概率的公理化定义 设随机试验E的样本空间为Ω ，对试验E的任一随机事件A，定义一个实值函数P(A),若满足： 非负性 规范性 可列可加性：若 A1,A2,…,An,…两两互不相 容，则有 则称P(A)为事件A的概率。 ?概率的重要性质 P(φ)=0 有限可加性：若 A1,A2,…, An是一 组两两互不相容的事件，则有 对任一随机事件A,有 若A包含B,有P(A-B)=P(A)-P(B) 对任意事件A、B,有 ?推论 对任意事件A、B，有P(A-B)=P(A)-P(AB) 若A包含B,有P(A)≥P(B) 若AB=φ,有P(A+B)=P(A)+P(B) 对任意 n个事件A1,A2,…, An,有 设Ａ、B是随机试验E的两个随机事件，且P(A)0,则称 为已知事件A发生条件下，事件B发生 的条件概率。 ?条件概率 ?乘法公式 设A，B为任意事件， 若P(A)0， P(AB)=P(A)P(B|A) 若P(B)0， P(AB)=P(B)P(A|B) 推广到n个事件的情况 ?全概率公式 设A1,A2,…,An是完备事件组， P(Ak)0(k=1,2,…,n)，且 则对于事件B,有 ?贝叶斯公式 设A1,A2,…,An是完备事件组， P(Ak)0(k=1,2,…,n)，且 则B已发生的条件下, Ak发生的概率为 ?事件独立性 若两事件A、B满足 P(AB)= P(A) P(B)， 则称A、B相互独立。 若P(A)0，P(B)0，A、B相互独立，则 有P(A)= P(A|B) ，P(B)= P(B|A) 。 概率为零的事件与任何事件相互独立。 ?伯努利定理 设一次试验中事件A发生的概率为p(0p1)，则n次贝努利试验中，事件A恰好发生k次的概率pn(k)为 ?几种常见的离散型随机变量的分布 0-1分布 若随机变量X只可能取0和1两个值，其概率分布为 P(X=1)= p，P(X=0)=1-p (0p1) 则称X服从参数为p的0-1分布. ?几种常见的离散型随机变量的分布 二项分布 若随机变量X的概率分布为 称X服从参数为n和p的二项分布，