概率论与数理统计数学期望精要.pptVIP

*兰州交通大学博文学院 *兰州交通大学博文学院 *兰州交通大学博文学院 *兰州交通大学博文学院 第四章、随机变量的数字特征 4.1数学期望 4.2方差 4.3协方差与相关系数 4.1数学期望 1、数学期望的定义 2、随机变量函数的数学期望 3、数学期望的性质 4、常见的六个分布的数学期望 引言 前面讨论了随机变量及其概率分布，可 以看出分布函数可以完整地描述随机变量的概 率分布情况。但是随机变量的分布不容易取得， 另一方面很多实际问题中，只需求出与分布有 关的二个指标，即随机变量的中心位置，散布 程度。例如：检查一批棉花的质量，主要关心 纤维的平均长度及纤维长度与平均长度的偏离 程度，这二个指标清楚了，棉花的质量也就清 楚了。数学上称之为均值（数学期望）及方差。 一、数学期望的定义: 例1：在一次考试中, 10名学生有2人得70分, 5人 得80分, 3人得90分, 问他们的平均成绩是多少? 具体算法: =70×0.2+80×0.5+90×0.3=81 (70×2+80×5+90×3) ÷10 X x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn … 推广到一般，设X取有限个或可列无穷多的离 散型随机变量, 它的概率分布为 1、定义4.1: (离散型随机变量的期望） 设离散型随机变量 X 的分布律为 X 的数学期望或均值, 记作 E(X) , 即 2、定义4.2: (连续型随机变量的期望) 设连续型随机变量 X 的密度函数为 f (x) , 积分为随机变量 X 的数学期望, 记为 例2：设 X 服从 [ a , b ] 上的均匀分布, 求 E(X) 解 X 的密度函数为 则 X 的数学期望为 即数学期望位于[ a , b ] 的中点 . 1、定理4.1: 设 Y = g(X)是随机变量 X 的函数, (g为连续函数) 二、随机变量函数的数学期望: (1)若 X 是离散型随机变量 , 它的分布律为 (2) 若 X 是连续型随机变量 , 其概率密度为 f (x) , 定理4.1的重要意义: X 的分布就可以了. 求 E(Y) 时, 不必求出Y 的分布, 而只需利用 2、定理4.2: 设 ( X , Y ) 是二维随机变量 , Z =g( X , Y ) 是 (1)若( X , Y )是离散型的 , 其分布律为 ( X , Y ) 的函数 . (2) 若( X , Y )是连续型的 , 其密度函数为 f (x , y) , 例3： 某商店出售某种小饰物, 每销售一件可赚 5元, 根据以往资料, 每天的销售量 X 是随机 解 设一天的利润为 Y , 由题设有 Y = 5 X , 由定理4.1, 有 变量, 取值为 0, 1, 2, 3 件的概率分别为0.4, 0.3, 0.2, 0.1 . 试求一天的平均利润 . E(Y) = E(5X) =5×0×0.4+5×1×0.3+5×2×0.2+5×3×0.1 =5 (元) 设 C 为常数, X 和 Y 是随机变量, 三、数学期望的性质: (2) E(CX) = CE(X ) ; 且 E(X) 和 E(Y) 都存在 , 则 (1) E(C) = C ; (3) E(X +Y ) = E(X ) + E(Y ) ; (4) 若 X 与 Y 相互独立, 则有 E(XY ) = E(X ) E(Y ) . 质 . 第四个性质可类似证明 . 证 第一、第二个性质显然成立 . 仅证第三个性 设( X , Y ) 的联合密度函数为 f ( x , y ) , 则 仅就连续型给出证明, 离散型类似可证 . = E(X ) + E(Y ) . (5) 数学期望的线性性质: 例如 E(2X+3Y)=2E(X)+3E(Y) 四、常见的六个分布的数学期望 1.二点分布的数学期望 已知： X 0 1 P 1-p p 2.二项分布的数学期望 3.泊松分布的数学期望 5.指数分布的数学期望 6.正态分布的数学期望 4.前面已求均匀分布数学期望 例4(11年考研)设随机变量X与Y相互独立，且E(X),E(Y) 存在，记 解：由题意知： 例5(96年）：设ξ 和η相互独立,且 则随机变量|ξ-η|的数学期望E(|ξ-η|)=__________ 例6：从学校乘公交车到火车站途中有三个交通岗， 假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的， 并且概率都是2/5，设X是途中遇到红灯的次数，求 随机变量X的数学期望。(97年） 解：