复变函数3精要.pptVIP

第三节 复数的乘幂与方根 一、乘积与商 二、幂与根 2.棣莫佛公式 三、小结与思考 棣莫佛资料 第四节 区 域 一、区域的概念 二、单连通域与多连通域 三、典型例题 四、小结与思考 5.区域: 如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域. (1) D是一个开集； (2) D是连通的,就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来. 6.边界点、边界: 设D是复平面内的一个区域,如果点 P 不属于D, 但在 P 的任意小的邻域内总有D中的点,这样的 P 点我们称为D的边界点. D的所有边界点组成D的边界. 说明 (1) 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的. (2) 区域D与它的边界一起构成闭区域 以上基本概念的图示 区域 邻域 边界点 边界 7.有界区域和无界区域: (1) 圆环域: 课堂练习 判断下列区域是否有界? (2) 上半平面: (3) 角形域: (4) 带形域: 答案 (1)有界; (2) (3) (4)无界. 1. 连续曲线: 平面曲线的复数表示: 2. 光滑曲线: 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线. 3. 简单曲线: 没有重点的曲线 C 称为简单曲线(或若尔当曲线). 换句话说, 简单曲线自身不相交. 简单闭曲线的性质: 任意一条简单闭曲线 C 将复平面唯一地分成三个互不相交的点集. 内部 外部 边界 课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线? 答 案 简单 闭 简单 不闭 不简单 闭 不简单 不闭 * * 一、乘积与商 二、幂与根 三、小结与思考 定理一 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和. 证 两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加. 从几何上看, 两复数对应的向量分别为 [证毕] 说明 由于辐角的多值性, 两端都是无穷多个数构成的两个数集. 对于左端的任一值, 右端必有值与它相对应. 例如， 由此可将结论推广到 n 个复数相乘的情况: 定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差. 证 按照商的定义, [证毕] 例1 解 例2 解 如图所示, 1. n次幂: 棣莫佛公式 棣莫佛介绍 推导过程如下: 根据棣莫佛公式, 当k以其他整数值代入时, 这些根又重复出现. 从几何上看, 例3 解 例4 解 即 例5 解 即 例6 解 故原方程可写成 故原方程的根为 例7 证 利用复数相等可知: 等式得证. 应熟练掌握复数乘积与商的运算. 在各种 形式中以三角形式、指数形式最为方便: 棣莫佛(de Moivre)公式 Abraham de Moivre Born: 26 May 1667 in Vitry (near Paris), FranceDied: 27 Nov 1754 in London, England 一、区域的概念 二、单连通域与多连通域 三、典型例题 四、小结与思考 1. 邻域: 说明 2.去心邻域: 说明 3.内点: 4.开集: 如果 G 内每一点都是它的内点,那末G 称为开集.