方程的根与函数的零点精要.pptVIP

第三章 函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的关系. 韦达（Viete，Francois，seigneurdeLaBigotiere）是法国 十六世纪最有影响的数学家之一。 第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。 他的《解析方法入门》一书（1591年），集中了他以前在代数方面的大成，使代数学真正成为数学中的一个优秀分支。他对方程论的贡献是在《论方程的整理和修正》一书中提出了二次、三次和四次方程的解。 第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。 探究：下列一元二次方程的根与相应的二次函数的图象有何关系？ 与 与 与 引申:二次函数 的图象和相应一元二次方程 的根有何关系? 判别式 ?＞0 ?＝0 ?＜0 方程 的根 两不相等实数根 一个交点 没有交点 二次函数 的图象与x轴的交点 两个交点 两相等实数根 没有实数根 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点． 函数的零点 思考：函数 的图象与 轴的交点和相应的方程 的根有何关系？ x 结论: 方程f (x)＝0有实数根 ?函数y＝f (x)的图象与x轴有交点 ?函数y＝f (x)有零点 方程 的根是函数 的图象与 轴的交 点的横坐标 由此可知，求方程 的实数根，就是求函数 的零点。对于不能用公式法求根的方程 来说，可以将它与函数 联系起来， 利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根 注意：函数零点既是对应方程的根，又是函数图象与x轴交点的横坐标！ 零点对于函数而言，根对于方程而言． 探究： 如何求函数的零点？ 1 2 3 4 5 -1 -2 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 x y 观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象： 在区间[-2，1]上有零点______； f(-2)=_______，f(1)=_______， f(-2)·f(1)___0(“＜”或“＞”)． 在区间(2，4)上有零点______； f(2)·f(4)____0（“＜”或“＞”）． －1 －4 5 3 1 2 3 4 5 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 y x y O a b c d 思考：观察图象填空，在怎样的条件下， 函数 在区间 上存在零点？ 有 有 有 ①在区间(a,b)上f(a)·f(b)____0(“＜”或“＞”)． 在区间(a,b)上______(有/无)零点； ②在区间(b,c)上f(b)·f(c) ___0(“＜”或“＞”)． 在区间(b,c)上______(有/无)零点； ③在区间(c,d)上f(c)·f(d) ___0(“＜”或”＞”)． 在区间(c,d)上____(有/无)零点； 结论 x y O a b c 例1 判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例 （1）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f(a) ·f(b) 0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零 点.（ ） （2）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f(a) ·f(b)≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.（ ） （3）已知函数y=f (x)在区间[a,b]满足f(a)·f(b) 0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点.（ ） 解：（1）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且 f (a)·f(b) 0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点. （ ） a b O x y 如图, 函数y=f(x)在区间[a,b]上有3个零点,“在区间(a,b) 内有且仅有一个零点”的说法是错误的. （2）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a)· f(b) ≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.（ ） a b O x y 可知，函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a)· f(b)≥0，但f(x)在区间(a,b)内有零点.故论断不正确。 如图, （3）已知函