分形几何在金融上的分析精要.pptVIP

分形几何产生的背景 经典几何的研究对象: 规则的图形，如圆，三角形等． 问题： 　 对于不规则的图形：如海岸线，云的边界，我们如何研究？ 如何用计算机去生成？ 分形几何产生的背景 下面我们再介绍一些传统方法难以处理的一些问题． 如何研究在闭区间上处处连续处处不可导的函数： 如Weierstrass函数？ 一类Weierstrass函数的具体表达式 其中1s2, 大自然的不规则性 树木花草、山川河流、烟雾云彩等是不规则的。晶体的生长，分子的运动轨迹等也是不规则的。如何用几何来描述它？ B. Mandelbrot 观察到英国海岸线与Van Koch 曲线的关系，提出了一门描述大自 然的几何形态的学科---分形(Fractal). Julia集 Julia集 Julia集 Julia集 Mandelbrot集 Mandelbrot集 分形几何的历史 萌芽期：十九世纪末，二十世纪初. Cantor集，Weierstrass函数等的提出. 分形几何的历史 形成期：二十世纪六、七十年代. Mandelbrot的大量工作. 1. 1967年，Science, 英国的海岸线有多长？ 2. 1975年，《分形对象：形，机遇和维数》.分形(fractal)这个词源于这本书. 它的意思是“不规则的或者断裂的”拉丁语“fractus”派生 出来的. 英国的海岸线有多长? 测量方法： 我们想象一个人沿着一段海岸线拣尽可能短的道路步行，并规定每步长度不超过?，设这样测得的海岸线长度为L(?).然后重新开始，并使他在海岸线上最长的步长越来越短。 英国的海岸线有多长? 用一只小老鼠代替人测量。 用苍蝇代替小老鼠测量。 测量结论：随着步长?越来越短，我们测量出来的海岸线长度越来越长。 英国的海岸线有多长(续)? Richardson的经验数据 L(?)与??成正比，其中?的值依赖于具体的海岸线。而且对同一海岸线，对不同的区段，常常得到不同的?。在Richardson看来， ?没有什么特别意义。 英国的海岸线有多长(续)? Mandelbrot的贡献 把?的意义挖掘出来，将1+ ?=D解释为“分形维数”。 分形几何的历史(续) 发展期：二十世纪八十年代至今. 1. Hutchinson, 1981, 分形与自相似. 给出了自相似集合的数学理论基础. 2. Mandelbrot, 1982, 《自然界的分形几何》. 分形几何的历史(续) 3. Barnsley, 1988, 《Fractal everywhere》. 4. Falconer, 1990, 《分形几何——数学基础 及其应用》. 分形函数 我们的主要研究对像是分形函数。 ① Weierstrass函数 ② Weierstrass型函数 分形几何的研究对象（二） 自仿射集（每个映射都是压缩的仿射映射）。 迭代函数系统的不变集（每个映射都是压缩映射）。 分形函数（如：Weierstrass函数）。 随机分形（如：随机Koch曲线）。 分形的应用领域 数学中的动力系统等; 物理中的布朗运动,流体力学中的湍流等; 化学中酶的构造等; 生物中细胞的生长等; 分形的应用领域 地质学中的地质构造等; 天文学中土星光环的模拟等; 其它:计算机,经济学,社会学,艺术等 Hausdorff Dimension Box Dimension 分形在金融分析中的应用 金融学的基础之一是现代证券理论，支撑这一理论的数学在处理极端问题时，作了尽可能从宽的处理。认为重大的市场巨变出现的可能性很小，或者认为这类变化无法加以考虑。现代证券理论提出的防范风险的措施依靠的是一些要求很严而且没有什么根据的假设。 分形在金融分析中的应用 首先，它认为价格的变动统计上是彼此独立的，例如今天的价格对于现行价格和明天的价格之间的变化毫无关系。 其次，假设所有价格变化的分布服从标准的正态分布，正态分布的宽度描述了价格变化偏离平均值有多远，极端情况的事件被认为是及其罕见的。 分形在金融分析中的应用 然而，人们经常观察到价格的急升急降------频繁到每个月都会出现-----它们的概率并不像证券理论认为的亿亿亿分之一，而是高达百分之几。 分形在金融分析中的应用 最近，人们通过对实际市场历史数据的研究发现，即使竞争最激烈的市场，实际上市场的变化规律也不是严格的随机的，价格的起伏是相关的，且具有长程相关性，因此可以通过分形理论来进行描述。 分形在金融分析中的应用 Manderbrot在其早期对棉花价格的分析中发现，