范数理论精要.pptVIP

例：Hilbert 阵 cond (H2)? = 27 cond (H3)? ? 748 cond (H6)? = 2.9 ? 106 cond (Hn)?? ? as n ? ? 注：一般判断矩阵是否病态，并不计算A?1，而由经验得出. ? 行列式很大或很小（如某些行、列近似相关）； ? 元素间相差大数量级，且无规则； ? 主元消去过程中出现小主元； ? 特征值相差大数量级. 第四节 特征值的估计与表示 特征值是矩阵的重要参数之一，矩阵的特征值可以用复平面上的点来表示，当矩阵的阶数比较高时，计算它的特征值一般比较困难，而对它的特征值给出一个范围就是特征值的估计问题。 而实际上，对于许多的应用问题，只要粗略地估计特征值的大小或者分布范围就够了，因此从矩阵的元素出发，用比较简便的运算给出矩阵特征值的所在范围，将有十分重要的意义。 主要内容： 1·矩阵特征值的有关不等式 2·特征值所在的区域—盖尔圆 定理1 设 为 的特征值，则有 等号成立的充分必要条件是A为正规矩阵。 Schur不等式 证明： 由Schur定理， 存在酉矩阵U，使 其中R=（rij）为对角元为A的特征值 的上三角矩阵。 对（1）式两端取共轭转置并两式相乘得： 因为R为对角元为A的特征值的上三角矩阵，所以 矩阵特征值实部与虚部界的不等式 引理：设 满足 则 证明：设 则有 定理2 设 则A的任 一特征值 满足： 证明：设A的属于 的单位特征向量为x,即 上式两端左乘以xH可得 再取共轭转置得. 由引理知： 推论： （1）Hermite矩阵的特征值都是实数； （2）反Hermite矩阵的特征值为零或纯虚数。 例：设矩阵 估计A的特征值的界 因为 所以，由 则A的任一特征值 满足： 关于实矩阵特征值虚部的界，还有更精确的估计式 定理：设 则A的任一特征值 满足： 证明略 在上面的例子中，可进一步地有 显然，当n比较大时，此定理对于实矩阵特征值虚部界的估计仅是前面定理界的一半。 特征值的包含区域--盖尔圆 定义 设 记 称复平面 上的圆域 为矩阵A的第 i个盖尔圆,称Ri为盖尔圆Gi的半径。 盖尔圆定理：矩阵 的全体特征值都在它的n个盖尔圆构成的并集之中. 证明：设A的属于 的单位特征向量为x,记 则有 由于 则 即 从而有 也就是 因此 在A的盖尔圆构成的并集之中. 注意到:A与AT的特征值相同,因此A的全体特征值也都在AT的n个盖尔圆构成的并集之中,称AT的盖尔圆为A的列盖尔圆. 例 估计A的特征值的分布范围 A的4个盖尔圆为: 故A的特征值都在 之中. 见课本P81 图4.4.1 连通部分:在矩阵A的盖尔圆中,相交在一起的盖尔圆构成的最大连通区域称为一个连通部分.(孤立的一个盖尔圆也是一个连通部分). 盖尔圆定理2:若矩阵A的某一连通部分由A的k个盖尔圆构成,则其中有且仅有A的k个特征值(盖尔圆相重时按重数记数,特征值相同时也重复记数) 说明:由两个或两个以上的盖尔圆构成的连通部分,特征值的分布不一定均匀.即在连通部分的不同盖尔圆中,分布的特征值的个数可以不相同. 例:估计 的特征值的分布范围. A有两个盖尔圆 故A的特征值都在 之中. 容易求得A的特征值为 由于 所以A的两个特征值都在G1中. 练习：课本P81 例4.4.3 练习：课本P83 例4.4.6 练习：课本P82 例4.4.5 【见课本P71引理4.2.1 引理4.2.2】 定理3 设 则 对于矩阵谱范数有下面的性质： (2)2-范数是酉不变的； (4)若矩阵A是正规矩阵， 是A的特征值，则 注意：F-范数不是算子范数(Why?) 例：设 计算 因为 练习 课本P73 例4.2.5 第三节 范数的应用 主要内容： 1、范数在特征值估计方面的应用---- 矩阵谱半径矩阵范数间的关系 2、范数在扰动分析方面的应用 谱半径定义 记 设?1, ?2, …, ?n是属于A的所有特征值 称 为A的谱半径。 证明 设?1, ?2, …, ?n是属于A的所有特征值 因此 性质1 对于任意n阶矩阵A，成立 性质2 (1)对于任意n阶矩阵A，成立 (2)当A是正规矩阵时， 证明 (1)设?是属于A的特征值 而矩阵AHA与AAH的特征值相同,则（1）成立。 解: 因为 则 从而