第五章稳定性定义解析.pptVIP

1841年Liouville证明了Riccati方程: 解的存在，但不能用公式求解，所以微分方程研究的主流发生了变化，不解方程去判断解的形式，即定性理论和稳定性理论。尽管是很古老的学科，但这里还有很多问题需要研究. 第五章 定性和稳定性理论简介 非线性微分方程 实际问题中所研究的对象往往是非常复杂的，需要非线性微分方程(组)来描述，非线性方程能求出解析解的很少，需要进行数值计算或理论分析。 微分方程的研究内容 求解：解析解、近似解、数值解 基本理论：解的存在惟一性、连续性 定性稳定性：时间趋于无穷时解的性态 分支理论：解性态发生改变的一些参数值 本章介绍非线性微分方程的基本研究办法，其出发点是在无法求出解析解的情况下通过方程本身的形式来分析时间趋于无穷时解的性态。 不求解微分方程而通过方程右端函数的信息探讨时间趋于无穷时解的性态 利用极坐 标将方程 组 化为 非自治系统或非定常系统 自治系统或定常系统 §6.1 稳定性 (非线性微分方程的有关基础理论及稳定性概念 ) 一般非线性微分方程组的解的存在与唯一性定理 结论：存在 ,使初值问题 的解在 上存在且唯一，其中 . ? 条件:方程 右边的函数 （1）在n+1维空间的区域 上连续； （2）在R上关于 满足李普希兹条件，即存在L 0,使对 ，有 R上任意两点 注:关于解的延拓与连续定理、可微性定理见教材P250. 研究 的特解 邻近的性态 思路 作变换 化为 其中 研究 的特解 邻近的性态 研究 的零解 邻近的性态 解的性态的研究 ? ? 零解在李雅普诺夫 (Liapunov) 意义下的稳定性的定义 如果所考虑的解的存在区间是有限闭区间，那么这是解对初值的连续依赖性， 第3章的我们已讨论过.现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间，那么解对 初值不一定有连续依赖性，这就产生了李雅普诺夫意义下的稳定性概念. 稳定性的物理意义 定理的关键在于能否找到一个合适的辅助函数,此函数称为李雅普诺夫函数。可惜直到目前为止还没有一个简便的寻求李氏函数的一般方法，这也是在过去的一段相当长的时期内李氏稳定理论未能得到广泛应用研究的原因之一。 G 研究 对象: 稳定性定义 几何解释 渐近稳定性定义 几何解释 G 渐进稳定=稳定+吸引 不稳定性 几何解释 G 吸引域、全局稳定性定义 G 大范围内的渐近稳定性 几何解释 例 用Maple命令画出下边捕食被捕食系统的 方向场及一些轨线图 (图5.1) 用Maple命令画出的图形 从计算机的模拟看出系统有多个周期解。 取t的变化范围 -100t100, 选取下面6组初始值 [x(0)=1,y(0)=0], [x(0)=0,y(0)=4], [x(0)=20,y(0)=25], [x(0)=40,y(0)=25], [x(0)=60,y(0)=25], [x(0)=80,y(0)=25]. 输入Malpe命令如下 DEtools[phaseportrait] ([diff(x(t),t)=2*x(t)-0.08*x(t)*y(t), diff(y(t),t)=-y(t)+0.01*x(t)*y(t)], [x(t),y(t)], t=-100..100, [[x(0)=1,y(0)=0], [x(0)=0,y(0)=4], [x(0)=20,y(0)=25], [x(0)=40,y(0)=25], [x(0)=60,y(0)=25], [x(0)=80,y(0)=25]], x=0..300,y=0..60, dirgrid=[30,30], stepsize=0.1, linecolor=blue, arrows=SLIM);