第一章第五节函数的连续性解析.pptVIP

泰山医学院信息工程学院 刘照军 CT 一 P30 8 1) 13) 14) 15) 16) 17) 9 1) 4) 10 *** 11 * 一、复习提问 1、极限存在准则 2、两个重要极限 3、重要极限的应用 4、无穷小量与无穷大量 5、无穷小量与无穷大量的性质 第五节 函数的连续性 重点：连续的定义 ，间断点的定义 难点:间断点的分类及意义 关键：间断点的分类及意义 一、函数的连续性 1.增量 设变量u从它的一个初值u1变到终值u2,终值与初值的差 u2-u1,叫做变量u的增量，记作Δu，即Δu = u2-u1 增量可以是正的，也可以是负的. 当Δu为正时，变量u 从u1变到u2=u1+Δu时是增大的；当Δu为负时，变量u从 u1变到u2=u1+Δu时是减小的. 2.连续 定义1 设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果当自变 量的增量Δx=x-x0 趋于零时，对应的函数的增量 Δy=f(x0+Δx) - f(x0) 也趋于零，那末就称函数 y=f(x)在点x0连续. 定义2 设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果 那么就称函数f(x)在点x0连续. 下面说明左连续与右连续的概念: 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续,如果区间包括端点,那么函数在 右端点连续是指右连续,在左端点连续是指左连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 我们曾经证明: (2)有理分式函数在其定义域内的每一点都是连续的。 (1)有理整函数在区间 内是连续的 作为例子,我们来证明,函数y=sinx在区间 内是连续的 由三角公式有 二、函数的间断点＊＊＊＊ 1定义 设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义，如果函数 f(x)有下列三种情形之一：(1)在x=x0没有定义；(2)虽在x= x0有定义，但 不存在； (3)虽在x= x0有定义，且 存在,但则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点. 例1 例2 例3 例4 所以,x=1也称为该函数的可去间断点 例5 函数 因为y=f(x)的图形在x=0处产生跳跃现象,我们称x=0为函数f(x)的跳跃间断点 间断点 左右极限都存在的间断点为第一类间断点. 不是第一类间断点的任何间断点为第二类间断点. 注 定理1 例如, 四、连续函数的性质 此即连续函数对四则运算的封闭性，可以用连续函数的定义证明 1、连续函数的和、差、积、商的连续性 定理2 如果函数y=f(x)在区间Ix上单调增加(或单调减少) 且连续,那么它的反函数x=φ(y)也在对应的区间 Iy={y|y=f(x),x ∈Ix}上单调增加(或单调减少)且连续 例1 反三角函数在其定义域内皆连续. 2、反函数的连续性 定理3 证 3、复合函数的连续性 从而: 意义 1.极限符号可以与函数符号互换; 例1.35 求 定理4 例1.36 求 4、初等函数的连续性 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的. ★ ★ ★ (均在其定义域内连续 ) ★ 定理5 基本初等函数在定义域内是连续的. 定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 1. 初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续; 注意　 2. 初等函数求极限的方法代入法. * *