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高等数学一 主讲 杨俊 演示文稿制作 杨俊 高等数学一 第一章 函 数、极限与连续 1．3 函数的连续性 1.3 函数的连续性 自然界中存在着各种连续变化的量 例如：气温一般是在连续不断的变化 这里连续意味着： 时间的改变越小， 温度的改变也越小 连续不断意即几何图形是不间断的曲线 连续变化的气温曲线就是不间断的曲线 1.3.1 函数的增量 定义1 变量 的改变量： 函数的改变量： 1.3.2 函数在一点处的连续性 定义2 在 处连续： 否则称 在 处不连续或间断，并称 为 的间断点 定义3（连续的等价定义） 说明： 左（右）连续： 定理1 函数在一点连续的充分必要条件是在这点左、右都连续，即 例2 求下列函数的间断点 解： 例3 讨论函数 的连续性 解： 例4 求下列函数的间断点 1.3.3 函数在区间内的连续性 定义4 函数在开区间内连续是指在开区间内每一点都连续；函数在闭区间上连续除要求在区间内部每一点都连续外，对端点要求左端点右连续，右端点左连续 并称在区间上连续的函数为该区间上的连续函数，且将对应区间称为连续区间 连续函数的几何意义：在某区间上的连续函数的图形在该区间上是一条连续不间断的曲线 连续函数的性质 连续函数的和、差、积、商（在分母不为零处）仍是连续函数 连续函数的复合函数仍是连续函数 于是 定理2 初等函数在定义区间内都是连续的 初等函数的间断点：无定义的点 初等函数的连续区间就是定义区间 初等函数在有定义的点处的极限可用代入法计算 即 例5 闭区间上连续函数的性质 定理3 (最大值与最小值定理) 闭区间上的连续函数一定存在最大值与最小值 几何解释： 说明：闭区间与连续 两条件缺一不可 推论 (有界性定理) 闭区间上的连续函数一定是有界的 定理4 (介值定理) 闭区间上的连续函数当两端点的函数值不相等时，必取得介于两端点的函数值之间的任何值至少一次 几何解释： 推论 （根的存在性定理）（零点定理） 闭区间上的连续函数当两端点的函数值异号时，在对应开区间内部至少存在一点，使该点的函数值为零，即在对应开区间内部至少存在一个零点 几何解释： 说明：定理结论也可叙述为： 方程 在开区间 内至少有一实根 例6 证明三次方程 在 内至少有一实根 证明： 1.3 小结 函数连续的概念 函数连续定义、几何意义 判定函数连续与间断（重点初等函数与分段函数） 间断点分类 利用连续求极限 连续函数性质 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 * * 第3章 一元函数微分学的应用 第4章 一元函数积分学及应用 第1章 函数、极限与连续 第2章 导数与微分 1．1 函数 1．2 函数的极限 1．3 函数的连续性 1.连续的定义 2.连续的条件 3.分段函数的连续性判定 4.间断点及其分类 1.增量 2.函数的增量 1.在开区间内的连续性 2.在闭区间上的连续性 3.初等函数的连续性 4.闭区间上连续函数的性质 1．3．1 函数的增量 1．3．2 函数在一点 处的连续性 1．3. 3 函数在区间上的连续性 注意： 改变量也叫增量 增量可正、可负、也可为零 在 处连续 在 处间断 连续的条件： 间断的情形： 例1 讨论 在 处的连续性 解： 间断点分类 第一类 第二类 可去间断点：极限存在的间断点 跳跃间断点：左、右极限存在但不相等的间断点 无穷间断点：极限为无穷大的间断点 振荡间断点：极限为振荡极限的间断点 其它间断点：不同于上述各种情况的间断点